Дифференциальные уравнения, помогите

Помогаю, не калькулятором. Этого вполне достаточно для решения, даже если вы отлетели еще на 2-м или 3-м занятии по диффурам.
1. Однородное уравнение. Сделайте замену:
y(x) = x z(x)
В уравнении для z переменные разделятся.
2. Линейное неоднородное. Сделайте замену:
y(x) = u(x) z(x)
Подставьте в уравнение.
Сгруппируйте слагаемые с множителем z(x) в одно. Потребуйте, чтобы оно было равно нулю, вы получите условие для нахождения u (это будет линейное однородное уравнение, переменные разделятся). Возьмете в качестве u(x) любое ненулевое решение. Подставите в уравнение. Далее увидите, что z находится элементарно.
3. Уравнение Бернулли. Можно решить тем же способом, что и предыдущее.
4. Уравнение в полных дифференциалах. Ваше уравнение:
(1 - 3 x^2 - y) dx + (3 y^2 - x) dy = 0
похоже на условие равенства нулю полного дифференциала некоторой функции U:
Ux dx + Uy dy = 0
Второе уравнение решается сразу:
dU = 0
U(x, y) = Const
Нам бы хотелось, чтобы:
Ux = 1 - 3 x^2 - y
Uy = 3 y^2 - x
Но должно выполняться:
Uxy = Uyx
То есть:
d(1 - 3 x^2 - y)/dy = d(3 y^2 - x)/dx
Что верно. Поэтому такое U(x, y) существует, и вместо исходного уравнения вы просто ищите это U(x,y) из уравнений:
Ux = 1 - 3 x^2 - y
Uy = 3 y^2 - x
(интегрируете любое из этих соотношений и устраняете неопределенность интегрирования с помощью другого) и записываете ответ в виде:
U(x,y) = Const
5. Уравнение, неразрешимое относительно производной. Но оно разрешимо относительно x и относительно y. Выразите x, получите уравнение вида:
x = F(y, y')
Обозначьте y = p. Тогда:
x = F(y, p)
Возьмите полный дифференциал:
dx = Fy dy + Fp dp
С другой стороны:
y' = p
dy/dx = p
dx = dy/p
Приравниваете выражения для dx, исключая x из уравнения:
dy / p = Fy dy + Fp dp
[Fy - 1/p] dy + Fp dp = 0
У вас тут переменные y, p разделятся, легко найдете y(p).
Тогда сможете выразить x:
x(p) = F(y(p), p)
Это будет решение в параметрическом виде.