Помогите решить дифференциальное уравнение двумя способами

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка со следующими начальными условиями:

y'' + 2y' + 10y = 2e^t
y(0) = 1
y'(0) = 1

Первый способ решения - метод вариации произвольных постоянных:

1. Найдем общее решение однородного уравнения:
y'' + 2y' + 10y = 0

Характеристическое уравнение:
r^2 + 2r + 10 = 0

Дискриминант D = (2^2) - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36
Так как D < 0, то у характеристического уравнения есть два комплексно-сопряженных корня:
r1 = -1 + 3i
r2 = -1 - 3i

Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
y_h(t) = C1 * e^(-t) * cos(3t) + C2 * e^(-t) * sin(3t)

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид:
y_p(t) = A * e^t

Подставим это в исходное уравнение:
(A * e^t)'' + 2(A * e^t)' + 10(A * e^t) = 2e^t
Ae^t + 2(Ae^t) + 10(Ae^t) = 2e^t
13Ae^t = 2e^t

Сокращаем на e^t:
13A = 2

Отсюда получаем A = 2/13.

Таким образом, частное решение будет:
y_p(t) = (2/13) * e^t

3. Найдем значения постоянных C1 и C2 из начальных условий:
y(0) = C1 * e^0 * cos(0) + C2 * e^0 * sin(0) + (2/13) * e^0 = 1
C1 + (2/13) = 1 ...(1)

y'(0) = -C1 * e^0 * sin(0) + C2 * e^0 * cos(0) + (2/13) * e^0 = 1
C2 + (2/13) = 1 ...(2)

Из уравнений (1) и (2) находим значения C1 и C2:
C1 = 11/13
C2 = 1/13

Таким образом, частное решение будет:
y_p(t) = (11/13) * e^(-t) * cos(3t) + (1/13) * e^(-t) * sin(3t) + (2/13) * e^t

Итоговое решение будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
y(t) = y_h(t) + y_p(t)
y(t) = C1 * e^(-t) * cos(3t) + C2 * e^(-t) * sin(3t) + (11/13) * e^(-t) * cos(3t) + (1/13) * e^(-t) * sin(3t) + (2/13) * e^t
y(t) = (C1 + (11/13)) * e^(-t) * cos(3t) + (C2 + (1/13)) * e^(-t) * sin(3t) + (2/13) * e^t

Итак, первый способ решения завершен.

Второй способ решения - метод Лапласа:

1. Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению:

L[y''] + 2L[y'] + 10L[y] = 2L[e^t]

s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2sY(s) - y(0) + 10Y(s) = 2/(s-1)

s^2Y(s) - s - 1 + 2sY(s) - 1 + 10Y(s) = 2/(s-1)

(s^2 + 2s + 10)Y(s) = (s+1) + 2/(s-1)

2. Найдем Y(s):
Y(s) = [(s+1) + 2/(s-1)] / (s^2 + 2s + 10)

3. Применим обратное преобразование Лапласа для нахождения y(t):
y(t) = L^(-1)[Y(s)]

Воспользуемся таблицей преобразований Лапласа и найдем функции, обратные тем, что имеется в Y(s).

Y(s) = [(s+1) + 2/(s-1)] / (s^2 + 2s + 10)

Используя таблицу преобразований Лапласа, найдем обратные функции:
L^(-1)[(s+1)/(s^2 + 2s + 10)] = e^(-t) * cos(3t)
L^(-1)[2/(s^2 + 2s + 10)] = e^(-t) * sin(3t)
L^(-1)[1/(s-1)] = e^t

Суммируем полученные функции:
y(t) = e^(-t) * cos(3t) + e^(-t) * sin(3t) + e^t

Таким образом, второй способ решения также дает нам функцию:
y(t) = e^(-t) * cos(3t) + e^(-t) * sin(3t) + e^t

Получили одинаковые решения при помощи двух разных методов.

JND.

Тут три основных метода:
1) характеристическое уравнение + метод неопределенных коэффициентов,
2) метод вариации постоянных,
3) метод факторизации диф. оператора.
С каким из методов у вас проблемы, и в чем нужна помощь?