Должен ли репетитор перевоспитывать своего ученика и быть для него «психологом» по становлению или это недопустимо?

Что за репетитор?

Не должен.
Для решения психологических проблем есть другие специалисты.

В 11 классе? Поздно уже воспитывать, хоть кому

Строго юридически при репетиторстве к ЕГЭ ему за это денег не платят и следовательно он как бы делать этого не должен. Вроде как и превышение полномочий и насилие над личностью.
Но с точки зрения Психологии подростка и Психологии образовательной деятельности... Без воздействия на психику ничему обучить нельзя.
Так что здесь тот самый классический случай несовпадения де-юре и де-факто, который пришёл в российскую систему образования с конца 90-х, когда школяры стали доводить учителей до... смертельных болезней своим поведением в американском стиле прав свобод и человека, которыми они нам с конца 80-х стали мозги компосировать?!. Вон до чего украинцев довели...
На самом деле НАСТОЯЩЕЙ свободы нет ни где в природе. А психология не может 100% гарантировать все оплаченные юридически результаты обучения без вмешательства в сформированную личность.
Грубо говоря так. Юноша приходит в армию скажем лентяем и трусом и ещё неаккуратным. Ну и КАК без мордобоя (морального и физического) его превратить из размазни в Солдата Российской Армии, что бы не опозорил и честь полка и своего командира и в плен не попал. А попавши в плен выжил, да ещё и сбежал от туда?!
В общем так. В Вашем случае. Нанят репетитор. Видимо очень опытный. Ему заплатили за то, чтобы вы сдали ЕГЭ на высокий балл. Это не значит, что он как при социализме будет вам давать ЗНАНИЯ. Нет! ЕГЭ не тот случай. Тут надо НАТАСКАТЬ, зазомбировать на победу, внушить, заставить заполнить на уровне инстинкта какие то ключевые вещи, которые обязательно будут в тестах.
Тут и нейто-лингвистическое программирование можно применить. Ну и разные приемчики дрессировки животных. В общем что угодно - лишь бы тесты были пройдены на большой скорости и с максимальным эффектом.
Ну и второе. Чтобы хорошо кого то обучить - надо душу вложить, а это только у талантливых людей получается.
То есть вам видимо бесталанный репетитор попался. Нет у него артистического и педагогического таланта. Слишком прямо на вас воздействует и это вызывает отторжение. На самом деле всё должно происходить мягко, незаметно. приятно. Ну а предмет он свой видимо знает и натаскивать к ЕГЭ умеет.

Любой педагог является в каком-то смысле психологом. Все они изучают начальную психологию. Это необходимо.