Решение неопределенных интегралов

JND.

Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть u = x/2, тогда dx = 2du. Заменив x на 2u, получаем:

∫tg^5(x/2) dx = ∫tg^5(u) * 2 du

Теперь мы можем применить метод интегрирования по частям для вычисления данного интеграла. Для этого обозначим:

u = tg^4(u), du = 4tg^3(u) * sec^2(u) du

dv = 2 du, v = 2u

Тогда:

∫tg^5(u) * 2 du = 2tg^4(u) * 2u - ∫8tg^3(u) * sec^2(u) * 2u du

Далее, для интеграла ∫tg^3(u) * sec^2(u) * 2u du мы также можем применить метод интегрирования по частям, обозначив:

u = tg^2(u), du = 2tg(u) * sec^2(u) du

dv = 2u * sec^2(u) du, v = tan(u)

Тогда:

∫tg^3(u) * sec^2(u) * 2u du = tg^2(u) * tan(u) - ∫2tg(u) * tan(u) du

Интеграл ∫2tg(u) * tan(u) du сводится к интегралу ∫2tg(u)^2 du, который можно решить методом замены переменной u = tg(v), du = sec^2(v) dv:

∫2tg(u) * tan(u) du = ∫2tg^2(v) dv = 2∫(sec^2(v) - 1) dv = 2tan(v) - 2v

Заменив обратно переменную v на u, получаем:

∫tg^3(u) * sec^2(u) * 2u du = tg^2(u) * tan(u) - (2tan(u) - 2u)

Подставляя это выражение в исходный интеграл, получаем:

∫tg^5(x/2) dx = 2tg^4(x/2) * x - tg^2(x/2) * tan(x/2) + 2tan(x/2) - 2x + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.