Как можно посчитать сумму чисел от 0 до 100?

Однажды учитель дал задачу: найти сумму всех целых чисел от единицы до ста. По заведенному порядку аспидные доски с решением задач складывались на середине стола стопкой, а потом стопка переворачивалась, и учитель проверял задания.

Едва только учитель кончил диктовать, как послышался голос Гаусса: — А я уже решил!

При этом свою доску с решением он положил на середину стола.

Долго решали ученики задачу. Тем временам учитель прохаживался между партами и не без ехидства сделал Гауссу замечание:

— Карл, ты, наверное, ошибся! Нельзя в столь короткое время решить столь трудную задачу.

Уверенный в правильности своего решения, Гаусс смело ответил учителю:

— Извините, господин учитель! Я правильно решил задачу.

— Посмотрим, насколько правильно. А если неправильно? — И он угрожающе хлопнул хлыстом по своей ноге.. .

Каково же было изумление учителя, когда при проверке оказалось, что Гаусс решил задачу совершенно правильно, причем само решение отличалось чрезвычайной простотой и остроумием.

— Карл, расскажи классу, как ты решил задачу,— обратился к нему учитель.

— Заданная задача, если внимательно всмотреться в нее, очень проста. Я заметил, что числа данного ряда чисел, стоящие на одинаковом расстоянии от начала и конца его, имеют одинаковую сумму. Пользуясь этим свойством, я складывал попарно:

100+1, 99+2, 98 + 3 и т. д. , что давало каждый раз в сумме 101. Но таких пар, очевидно, 50, следовательно, вся сумма 101х50 = 5050.

Вот так это сделал Карл Гаусс, когда он был во 2-м классе школы (учитель был очень недоволен!) :

(0+100)+(1+99)+(2+98)+...+(48+52)+(49+51)+50=
100*50+50=5050.

Можно рассмотреть как арифметическую прогрессию а (1)=1, а (100)=100, n=100.
Sn=(a1+an)*n/2=(1+100)*100/2=5050
Если хотите начать с нуля, то а (1)=0, n=101, а (101)=100. Sn=(0+100)*101/2=5050

площадь трапеции с основаниями 1, 100 и высотой в 100 чисел.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту

набить в excel 1,2,3...,протянуть до ста, и суммировать

5050.

$result = 0;
for ( $q = 0; $q <= 100; $q++) {

$result = $result + $q;

}
echo $result. '
';