Реши уравнение sin7x=sin3x Запиши в поле ответа сумму корней,принадлежащих отрезку [0,π], умноженную на  2/π ​ .

Для начала наглядно представим себе эти синусоиды:
Видим, что помимо очевидных решений { 0; π/2; π }, есть ещё 4 корня, которые нужно найти, итого корней будет 7. Правда, здесь есть одна тонкость: нам сами эти корни не нужны, а нужна только их сумма.
В частности:

 sin 7x = sin (7π - 7x) = sin 7(π - x)

sin 3x = sin (3π - 3x) = sin 3(π - x)

sin 7(π - x) = sin 3(π - x) 

Т.е. если x является корнем уравнения, то π - x тоже является. Значит, пары корней в сумме дают π, кроме одного корня π/2, который не имеет пары, т.к. его дополнение до π - это он сам.
Суммируем три пары корней и отдельно стоящий корень:

 сумма корней = 3π + π/2 = 7π/2

сумма корней × на 2/π = 7π/2 × 2/π = 7 

Ответ на задачу:

 7 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Как аналитически (без графика) доказать, что корней именно 7, а не, скажем, как у неуча в предыдущем ответе получилось, 4? Как выше показано, чётного количества корней быть не может, но почему их не 5, не 9, не 11, а 7? Преобразуем разность синусов в произведение:

 sin 7x - sin 3x = 2 × sin((7x - 3x) / 2) × cos((7x + 3x) / 2) =

   = 2 × sin 2x × cos 5x = 0

sin 2x = 0   или   cos 5x = 0 

Первое уравнение на интервале [0; π] даёт нам 3 корня { 0; π/2; π }.
Второе уравнение на том же интервале даёт нам

 5x = π/2 + πk   (k ∈ ℤ)

x = π/10 + πk/5 ∈ [0; π]

1/2 + k ∈ [0; 5]

-1/2 ≤ k ≤ 9/2

k ∈ { 0; 1; 2; 3; 4 }

x ∈ { π/10; 3π/10; π/2; 7π/10; 9π/10 } 

Все корни - новые, за исключением π/2, который мы уже получили в синусе. Значит, всего корней 5 + 3 - 1 = 7 шт. Заодно мы точно выяснили их значения и видим, что они действительно попарно складываются в π.

По формуле разности синусов
sin7x - sin3x = 2 sin2x cos5x = 0.
Левая часть этого уравнения нулевая когда sin2x=0 или cos5x=0.
Получаем две серии решений:
2х = πk, 5x = π/2 + πl (k,l∈ℤ)
x = 5πk/10, x = (π+ 2πl)/10.
Отрезку [0;π] из всех этих корней принадлежат следующие:
0, 5π/10, 10π/10 из первой серии и π/10, 3π/10, 5π/10, 7π/10, 9π/10 из второй серии. Корень 5π/10 (он же π/2) встречается в обеих сериях. Сумма всех корней (естественно, без двойного учёта дважды встречающегося корня):
0+5π/10+10π/10+π/10+3π/10+7π/10+9π/10=35π/10,
умножаем её на 2/π и получаем
(35π/10)•2/π = 7.

Ну, Х = 0, а дальше как-нибкдь сам

Для решения уравнения sin7x=sin3x можно воспользоваться формулой синуса суммы:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применяя эту формулу, получаем:

sin7x = sin3x
sin(4x + 3x) = sin3x
sin4x cos3x + cos4x sin3x = sin3x
sin4x cos3x = sin3x - cos4x sin3x
sin4x cos3x = sin3x(1 - cos4x)

Так как sin4x ≠ 0 и cos3x ≠ 0 на отрезке [0, π], то можно разделить обе части равенства на sin4x cos3x:

tg4x = tg3x / cos4x
tg4x = tg3x / sqrt(1 - sin^2(4x))

Последнее равенство можно записать как:

tg4x / tg3x = 1 / sqrt(1 - sin^2(4x))

Обозначим tg4x / tg3x за t. Тогда:

t^2 = 1 / (1 - sin^2(4x))
t^2 sin^2(4x) = t^2 - 1
sin^2(4x) = (t^2 - 1) / t^2
sin(4x) = ±sqrt((t^2 - 1) / t^2)

Таким образом, уравнение сводится к нахождению значений t и подстановке их в формулу для sin(4x).

Так как углы x, 2π/7 - x, 4π/7 - x и 5π/7 - x являются корнями уравнения sin7x=sin3x, то нужно рассмотреть все возможные сочетания этих углов в качестве значений x.

При подстановке полученных значений x в формулу для sin(4x) получаем четыре значения: ±sqrt((t^2 - 1) / t^2) и ±sqrt((t^2 - 1) / t^2).

Суммируя корни, принадлежащие отрезку [0, π], и умножая на 2/π, получаем ответ:

2/π * (2π/7 + 4π/7) = 8/7.

Итак, сумма корней, принадлежащих отрезку [0, π], умноженная на 2/π, равна 8/7.