По каким артифактам учёные определяют "возраст "древних городов?

Сначала нахожят предполагаемое место захоронения. Раскапывают его. Если там нет ничего идут копать в другом месте. АртЕфактом можно считать любое предмет, имеющий признаки, позволяющие идентифицировать проживавший ранее этнос на данной территории. К признакам определяющим возраст можно отнестести:
+орудия труда (каменное, железное)
+храмы и сакральные захоронения (можно определить принадлежность к религии)
+письменность или её отсутсвие (например, находят в письменах букву ''ЗЮ", а буква была заимствована у соседнего племени которое жило здесь100 лет назад и имеет возраст 1000 лет, от этого и отталкиваются) .
Критериев этих ДОФИГА. Подробнее можно почитать у Фоменко, Петухова и пр.

там большая и разносторонняя наука.

Разных методов много, и все они дополняют друг друга и дают многократную проверку.

1. Глубины залегания - в каждой местности своя характерная скорость нарастания слоя
2. методы, основанные на физических принципах - например, радиоуглеродный метод (+ пяток схожих, но более точных современных методов)
3.сопоставление технологий, которыми владели жители, характерных построек и т. д. Технологии довольно быстро распространались по всему миру даже в древности. То же касается и украшений - мода не сегодня родилась:) .
4. исторические источники: например, если в летописи написано что князь Ярослав усмирял восстание неком городе - от он всяко существовал при Ярославе.
5. находки неместных предметов, датировка которых примерно известна. Например, если в городе находят древнюю римскую монету, то значит город существовал во время, близкое к тому, когда монету отчеканили.
и т. д....