Вопросик по математике - из области математического анализа. Сколько минимумов у такой функции?

1.
Так, как поставлена задача, т. е. в максимальной общности, можно утверждать только, что СТРОГИХ минимумов нет, а НЕСТРОГИХ либо нет, либо бесконечно много.
Это сразу следует из того, что функция
\Phi = \frac{\sum a_{ij} x_i x_j}{\sum d_{ij} x_i x_j }
однородная нулевой степени, т. е. она постоянна на каждой прямой, проходящей через начало координат. И, следовательно, если минимум достигается в некоторой точке, то он достигается на всей прямой проходящей через эту точку и начало координат (кроме точки \vec{0}).
Нестрогих минимумов может не быть только в том случае, если форма, стоящая в знаменателе обращается в 0 в точке, отличной от начала координат, т. е. не является строго знакоопределённой. Например: (x_1^2–x_2^2)/(x_1x_2).
Если же форма в знаменателе строго знакоопределённая, то функция \Phi непрерывна на компакте — единичной сфере \sum{x_i^2}=1. Следовательно, \Phi достигает в некоторой точке \vec{x} этой сферы наименьшего значения. Тогда, на всей прямой проходящей через эту точку и начало координат \Phi имеет (нестрогие) минимумы.

2.
Учитывая комментарий к ответу < Борисыч > , в знаменателе стоит строго знакоопределённая форма, равная
Либо
\sum_{i=0}^n{x_i^2}/4,
либо
{x_0^2}/2+\sum_{i=1}^n{x_i^2}/4.
(Точное значение легко выводится из того, что система функций {cos(k\pi\nu), где k=0,2,4,… или k=1,3,5,…} ортогональна в пространстве L^2(0;1/2).)
Таким образом, на всей области определения (т. е. на \mathbb{R}^n\setminus\vec{0}) \Phi всегда имеет бесконечное число точек НЕСТРОГОГО локального минимума. (В тех же точках достигается и глобальный минимум данной функции! )

3.
Задача станет более содержательной, если рассматривать \Phi не на всём n-мерном пространстве, а в {n–1}-мерном проективном подпространстве, т. е. на единичной сфере, факторизованной отношением эквивалентности \vec{x}=–\vec{x}.
В этом случае, как правило, будет только одна точка минимума. Бесконечно много точек минимума может быть только при исключительных значениях верхней границы интеграла в числителе. Например, если в числителе стоит интеграл от 0 до 1, то \Phi\equiv2.

---------------------

Если найду какие-либо ограничения на размерность пространства и верхнюю границу интеграла в числителе, при которых точка минимума в проективном подпространстве единственна, то допишу в комментарии.

зачем вы взрываете мозг тихим тунеядцам)))

Я бы привел данные кв. формы к каноническому виду, а потом исследовал градиент.
О каких интегралах идет речь (по какой области)

Всегда не был селен по математике. Но вопрос очень интересный!

пипетц
в контакте есть приложение там уравнения решаются