Сыпь на руках, появляются прыщи различной формы, крупные и маленькие, чешутся.

Ну клопа ты хрен поймаешь, только если носью резко встать и успеть увидеть. ВОзможно это даже аллергическая реакция, тут лучше сразу к специалисту грамотному и хорошему (в наше время таких мало). Даже на крапивницу похоже, а если реакция аллергическая? То последствия могут быть и фатальными. Дуй к доктору, родители куда смотрят?

Это аллергическая крапивница, выпить таблетку от аллергии любую из новых и продолжить, пока не пройдет, если будет ухудшаться - колоть преднизолон или дексаметазон

Чистое не значит безопасное в плане микробиологии, микологии или вирусологии.
Постельное белье и остальное белье нужно или желательно еще дезинфицировать.
Есть два основных способа в быту:
Стирка в горячей воде +40 и выше с кислородным отбеливателем или средством с активным кислородом типа Ваниш и др. При температуре стирки ниже +40 малоэффективно.
Стирка в холодной воде с средством на основе хлора, типа Белизна и др. При повышении температуры выше +20-25, хлор быстро улетучиваеться и процесс становиться не эффективным. После дезинфекции надо сушить на улице или еще раз постирать но в горячей воде чтобы убрать запах хлора.
Можно для надежности постирать два раза, с Белизной с хлором в холодной воде, и с активным кислородом в горячей.
Время стирки лучше выбрать максимальное.

Ну ваще, похоже на крапивницу. Это аллергия на что-то. Но сначала надо исключить насекомых. Обычно клопы ноги кусают

тоже напоминает аллергию очень
я бы тоже советовала полисорб пропить по своему опыту и от аллергии капли, ну и по возможности к врачу обратиться

аллергия по виду, как крапивница даже, по факту реакции и антигистаминные и полисорб бы пила, и далее разбираться уже с причиной

Идите к дерматологу) люди тут ничего умного не посоветуют)