Приехал незванный гость на несколько месяцев. Как элегантно прогнать его с квартиры?

Объяснить, что на еду денег на всех не хватает, и предложить ему хотя бы подрабатывать (а уж крышу над головой дать, так думаю, не сложно, если места достаточно)

Прогоняют ИЗ квартиры, вот это будет элегантно и грамотно.))

Можно, конечно, выносить ему мозг нотациями о необходимости работать и содержать себя.
Можно рассказать о других родственниках, которые шоколадно живут на молочных реках с кисельными берегами, чтобы он уехал туда от Ваших пустых щей и каши без масла.
А можно использовать его в своем хозяйстве. Разобраться с его жилищными делами что значит, дома нет. направить его куда-то, чтобы трудился, а доход - в общий котёл.

и кто он вам?

Скажите, что тараканов буду травить

сказать: А почему именно на нас отражается твоя серая полоса??? нас это НЕ устраивает, тут не бесплатная гостиница, или плати, или съезжай! вот тебе бог, а вот порог. И пусть обижается, вас то ему не жалко было, и ему не было стыдно приезжать к вам незваным гостем. Так что это его проблемы, что и как он почувствует при этих словах.

Т. е, он без стеснения приехал к вам без предупреждения, не справившись о вашем решении, а вы, значит, стесняетесь его выгнать ?
Просто сказать - не пора ли вам пора, мистер.

Вот так ему и сказать - плати, дорогой, за еду и жилье, здесь не гостиница бесплатная, хочешь жить ищи деньги на свое содержание - нет - вали на все четыре стороны...