Как оплачивается переустановка телефона при смене квартиры в пределах одно района?

В данном случае административный РАЙОН значения не имеет: главное - это перемещение телефона в зоне действия "родной" АТС.
Если на новой квартире телефон уже был, то оплачивается только переключение прежнего номера на новую линию.
А если та квартира не телефонизировалась, то придётся оплатить полностью работы по прокладке линии.

На основании п. 41 "Правил оказания услуг местной, внутризоновой, междугородной и международной телефонной связи", утвержденных постановлением Правительства РФ от 18 мая 2005 г. N 310,

При изменении места жительства (места нахождения) заявителя в пределах зоны обслуживания одного и того же узла связи сети местной телефонной связи заявление о заключении договора может быть переоформлено с указанием в нем нового адреса установки оборудования. При этом порядковый номер переоформленного заявления в очереди на заключение договора сохраняется таким, какой был у переоформляемого (первичного) заявления.
При изменении места жительства (места нахождения) заявителя в пределах зоны обслуживания сети местной телефонной связи оператора связи, которому было подано заявление, но за пределами зоны обслуживания узла связи, в которую входил указанный в заявлении адрес установки оборудования, заявление переоформляется с указанием в нем нового адреса установки оборудования. При этом очередность заключения договора с заявителем устанавливается исходя из даты регистрации переоформляемого (первичного) заявления.

а на основании п. 125 "Правил... "
В случае если внесение изменений в договор повлекло необходимость выполнения оператором связи соответствующих работ, эти работы (за исключением работ, связанных с выбором и изменением абонентом тарифного плана для оплаты услуг местной телефонной связи) подлежат оплате стороной, по инициативе которой были внесены изменения в условия договора.