Может ли ребенок остаться прописанным у бабушки,если отец выписывается в другую квартиру?

Дети регистрируются по месту жительства родителей (родителя) -
Зарегистрировано в Минюсте РФ 28 ноября 2007 г. N 10545
ФЕДЕРАЛЬНАЯ МИГРАЦИОННАЯ СЛУЖБА
ПРИКАЗ
от 20 сентября 2007 г. N 208
ОБ УТВЕРЖДЕНИИ АДМИНИСТРАТИВНОГО РЕГЛАМЕНТА
ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЙ МИГРАЦИОННОЙ СЛУЖБОЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЙ УСЛУГИ ПО РЕГИСТРАЦИОННОМУ УЧЕТУ ГРАЖДАН
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ
ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

12. Заявление о регистрации по месту пребывания и по месту жительства, снятии с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства от имени граждан, не достигших 14-летнего возраста, представляют их законные представители (родители, опекуны) .
76. Граждане, не достигшие 14-летнего возраста, прибывшие с родителями (усыновителями, опекунами) или родственниками к месту пребывания в жилые помещения государственного, муниципального и специализированного, а также частного жилищного фонда, регистрируются путем внесения сведений в свидетельство о регистрации по месту пребывания установленной формы одного из родителей (усыновителей, опекунов) . На них составляется и направляется в адресно-справочное подразделение территориального органа отдельный адресный листок прибытия по форме N 2 (приложение N 2 к Регламенту) .
77. В случае если ребенок прибыл от одного родителя к другому родителю, регистрация по месту пребывания производится путем внесения сведений о нем в поквартирную карточку по форме N 10 (приложение N 10 к Регламенту) или домовую (поквартирную) книгу по форме N 11 (приложение N 11 к Регламенту

Нет, ребенок (если ему меньше, чем 14 лет) не может быть зарегистрирован у бабушки при живых родителях. Для регистрации ребенка по месту регистрации отца (или матери) ничье согласие не требуется.

Конечно можно, и нет здесь для Вас каких то проблем.

Да и еще раз Да