Можно ли подать заявление на человека, который систематически прилюдно оскорбляет, унижает и

Можно... За клевету... Но надо представить свидетеля... Иначе, это только сплетни, за них не привлекут... А лучше пиздюлей дать... Моё мнение.. .
Клевета́ — порочащая информация или распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию.

За доказанный факт клеветы следует гражданская ответственность. Также она может быть признана уголовно наказуемым деянием во многих странах мира (в том числе и в России). Наказывается штрафом в размере от пятидесяти до ста минимальных размеров оплаты труда или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного месяца, либо обязательными работами на срок от ста двадцати до ста восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года.

Не можно, а нужно с привлечением свидетелей.

Да, можно. Желательно записать (или попросить кого-нибудь записать) его клевету на диктофон или на видео.

130 УК РФ:

«Статья 130. Оскорбление. 1. Оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме, -
наказывается штрафом в размере до сорока тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех месяцев, либо обязательными работами на срок до ста двадцати часов, либо исправительными работами на срок до шести месяцев.
(в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)
2. Оскорбление, содержащееся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, -
наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до ста восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года.
( в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)

Надуманные или не надуманные - не важно. Само распространение - это уголовные преступления по ст. 129 и 130 УК РФ ("Клевета" и "Оскорбление") Можно подать заявление в мировой суд (сложнее) или в милицию (проще).