к вопросу о свидетельстве... А что такое законно установить отцовские права?

Семейный кодекс РФ

Статья 48. Установление происхождения ребенка
...
3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка.. .

Статья 49. Установление отцовства в судебном порядке

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей.. . При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Статья 51. Запись родителей ребенка в книге записей рождений
...
2. Если родители не состоят в браке между собой, запись о матери ребенка производится по заявлению матери, а запись об отце ребенка - по совместному заявлению отца и матери ребенка, или по заявлению отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) , или отец записывается согласно решению суда.
3. В случае рождения ребенка у матери, не состоящей в браке, при отсутствии совместного заявления родителей или при отсутствии решения суда об установлении отцовства фамилия отца ребенка в книге записей рождений записывается по фамилии матери, имя и отчество отца ребенка - по ее указанию.
...

Значит, чтоб не только Вы знали кто отец ребенка, а еще и государство в лице компетентных органов..))

подать в суд и сделать экспертизу

Также можно пойти в ЗАГС матери и отцу ребенка и подать заявление.

здесь либо судебная экспертиза вам поможет установить отцовство ребенка либо его дбровольное признание....