моего мужа от первого брака есть ребёнок. С женой он в разводе. Раньше перечислял деньги. Потом бывшая начала давить его

Лишение (в Вашем случае добровольный отказ) от род. прав не освобождает от родительских обязанностей. Если ребенок несовершеннолетний, то мать имеет право подать на алименты в любое время. Кроме того, как я понимаю, исполнительный лист уже существует. Поэтому мать в любой момент может его восстановить без всякого судебного заседания (запросить копию из архива) . В этом случае Вашему супругу грозит долг за весь неоплаченный период, причем и после достижения ребенком возраста совершеннолетия.

Во-первых, нет у нас понятия отказался. Он согласился на лишение родительских прав. Но лишение прав не освобождает от обязанности платить алименты. Когда она возобновит производство по исполнению решения суда по алиментам. , то их будут начислять с этого момента.

1. Лишение родительских прав не являются основанием для прекращения алиментных обязательств - нет такого повода в ст. 120 СК РФ.
2. п. 2 ст 107 СК РФ "Алименты присуждаются с момента обращения в суд. Алименты за прошедший период могут быть взысканы в пределах трехлетнего (3 года) срока с момента обращения в суд, если судом установлено, что до обращения в суд принимались меры к получению средств на содержание, но алименты не были получены вследствие уклонения лица, обязанного уплачивать алименты, от их уплаты".
3. А вот задолженность (может накопиться и за 10 лет) и она официально зафиксирована у судебных приставов (18 лет уже здесь не причем) - должны были проводить аресты имущества, кроме единственного жилища ст. 446 ГПК РФ и конфисковывать до 70 % доходов ст. 66 ФЗ-119 "Об исполнительном производстве".