обязательно надо доверенность от первого мужа на ребенка если мы едим на Украину и кто знает сколько стоит

Нет не надо:
При следовании несовершеннолетнего гражданина России через государственную границу РФ совместно с одним из родителей, согласие второго родителя не требуется, если от него в пограничные органы не поступало заявления о своем несогласии на выезд из РФ своих детей. Наличие, каких — либо дополнительных документов, подтверждающих степень родства, не предусмотрено. ( Приказ МВД России от 26 мая 1997 г. №310).
Вместе с тем, пограничным органам ФСБ России при осуществлении пограничного контроля предоставлено право проводить опрос лиц, следующих через границу, и мотивировано запрашивать у них дополнительные документы.
(п. п. 7,8,9 Постановления Правительства РФ от 2 февраля 2005 г. №50 "О порядке применения средств и методов контроля при осуществлении пропуска лиц, транспортных средств, грузов, товаров и животных через государственную границу Российской Федерации").

В Украину, если ребенок едет с одним из родителей, разрешение от второго не требуется

Если родитель не оформил официальный запрет ра вывоз ребёнка, то мама спокойно может выехать с ним безо всякого согласия - со свид-вом о рождении и вкладышем о гражданстве ребёнка

Моя подруга мать одиночка (то есть в свидетельстве о рождении ребёнка в графе папа стоит прочерк! ) НО при поездке из Украины в Россию еле уговорила таможенников не снимать её с поезда! Требовали разрешение от несуществующего папы. Бред ...или сильно хотели денег. Так что лучше берите это разрешение чтоб не испортить себе отдых.

Для наших пограничников согласие второго родителя не требуется, а украинские пограничники могут потребовать. Если есть возможность, лучше сделать.
500 рублей - согласие
500-700 рублей - правовая и техническая работа

если по стране ездить, то без разрешения, а если за границу - то разрешение обязательно