На текст, выложенный в интернете анонимно, распространяются авторские права?

Да, распространяются.
"На произведение, обнародованное анонимно или под псевдонимом, срок действия исключительного права истекает через семьдесят лет, считая с 1 января года, следующего за годом его правомерного обнародования" (ч. 2 ст.1281 ГК РФ). Если автор раскроет свою личность, то авторские права будут охраняться уже по другой схеме (в течение жизни автора и 70 лет после его смерти).

Права анонима?

Вот интересная статья в тему - Статья 1253.1. Особенности ответственности информационного посредника
1. Лицо, осуществляющее передачу материала в информационно- телекоммуникационной сети, в том числе в сети "Интернет", лицо, предоставляющее возможность размещения материала или информации, необходимой для его получения с использованием информационно-телекоммуникационной сети, лицо, предоставляющее возможность доступа к материалу в этой сети, - информационный посредник - несет ответственность за нарушение интеллектуальных прав в информационно-телекоммуникационной сети на общих основаниях, предусмотренных настоящим Кодексом, при наличии вины с учетом особенностей, установленных пунктами 2 и 3 настоящей статьи.
2. Информационный посредник, осуществляющий передачу материала в информационно-телекоммуникационной сети, не несет ответственность за нарушение интеллектуальных прав, произошедшее в результате этой передачи, при одновременном соблюдении следующих условий:
1) он не является инициатором этой передачи и не определяет получателя указанного материала;
2) он не изменяет указанный материал при оказании услуг связи, за исключением изменений, осуществляемых для обеспечения технологического процесса передачи материала;
3) он не знал и не должен был знать о том, что использование соответствующих результата интеллектуальной деятельности или средства индивидуализации лицом, инициировавшим передачу материала, содержащего соответствующие результат интеллектуальной деятельности или средство индивидуализации, является неправомерным.