Какие права и обязанности прокурора? И занимается ли он поимкой преступников, то есть бегает ли он за ними и так далее

Прокцурор не ловит преступников сам, непосредственно, не бегает за ними с оружием в руках.
Надзор за исполнением законов-- главное направление деятельности прокуратуры. С его помощью решается широкий круг задач прокурорской деятельности: соблюдение Конституции Российской Федерации, исполнение действующих на территории страны законов, обеспечение единства и укрепления законности, прав и свобод человека и гражданина, охраняемых законом интересов личности, общества и государства.
Прокурор является должностным лицом, уполномоченным в пределах компетенции, предусмотренной УПК РФ, осуществлять от имени государства уголовное преследование в ходе уголовного судопроизводства, а также надзор за процессуальной деятельностью органов дознания и органов предварительного следствия.
Есть и иные направления деятельности прокуратуры, к которым относятся участие прокурора в рассмотрении судами уголовных, гражданских и арбитражных дел; расследование преступлений и координация деятельности по борьбе с преступностью.
Расследование преступлений следователями органов прокуратуры-- еще одно направление деятельности прокуратуры. Следствие производится по делам, отнесенным УПК РФ к их компетенции.
Особенность полномочий прокурора в этой сфере в том, что он может поручить следователю прокуратуры расследовать любое преступление, исходя из общественной значимости дела, уровня квалификации соответствующих работников и иных обстоятельств.
Работу прокуроров и следователей прокуратуры нам уже давно показывают в многосерийном телефильме "Тайны следствия",который каждый день идет по телеканалу "РОССИЯ 1" где- то около обеда. Посмотрите, это конечно, художественный фильм, но представление в общем вы получите.

нет. не бегает... сидя с кресла взирает на происходящее...

Нет, он надзирает за соблюдением законности на вверенной ему территории.