на каких основаниях прокурором проводится проверка детского сада? Можно ли отказать пускать прокурора для проверки сада?

Проверка проводится на основании закона О прокуратуре. Никакого разрешения не требуется

1. Прокурор при осуществлении возложенных на него функций вправе:
по предъявлении служебного удостоверения беспрепятственно входить на территории и в помещения органов, указанных в пункте 1 статьи 21 настоящего Федерального закона, иметь доступ к их документам и материалам, проверять исполнение законов в связи с поступившей в органы прокуратуры информацией о фактах нарушения закона;
требовать от руководителей и других должностных лиц указанных органов представления необходимых документов и материалов или их копий, статистических и иных сведений в сроки и порядке, которые установлены пунктами 2, 2.1, 2.3, 2.4, 2.5 статьи 6 настоящего Федерального закона; выделения специалистов для выяснения возникших вопросов; проведения проверок по поступившим в органы прокуратуры материалам и обращениям, ревизий деятельности подконтрольных или подведомственных им организаций;
(в ред. Федерального закона от 07.03.2017 N 27-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
вызывать должностных лиц и граждан для объяснений по поводу нарушений законов.

обязательно должен быть документ о проведении проверки, обычно это постановление прокурора.

нет документа - это нарушение.
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_83079/

Воспитатель детсада получила выговор за то, что пыталась скрыть ЧП в группе. По недосмотру педагога трехлетний мальчик с сотрясением мозга попал в больницу. О происшествии родителям она рассказала только через несколько дней, пишет "Главная".
Травму скрыли
вот и пустили прокуроров для профилактики