Подскажите пожалуйста как быть и куда обращаться

Паспорт рф, значит находится можешь вечно. Обратиться в мфц или в миграционную службу для решения вопроса с пропиской.
Тема такая, временную прописку можно получить при оренде некоторых помещений нужен арендодатель организация не частник. Прописка нужна для официальной работы и оказания помощи по полису ОМС (мед страх) Но для этого нужно получить еще и полис так что путь в мфц ростова

Раз вы гражданка РФ, вы можете находиться на территории РФ сколько угодно, а если выедете, то без проблем можете въехать обратно. Чтобы иметь регистрацию, ищите арендодателя, который согласится её оформить. Это реально. Как, впрочем, и устроиться на работу без регистрации.

А Ростове есть специальный информационный центр. Поспрашивайте а городе, где он находится.

Уважаемая Лиана ли, Вы гражданка Российской Федерации (РФ) (с паспортом РФ, в котором нет пометки регистрации по месту жительства (пометки в этом документе "прописки", что и означает, что нет пометки регистрации) ), переехавшая в г. Ростов РФ из Луганской НР (ЛНР) для работы (по специальности или ещё для какой работы) на территории РФ.
Давайте рассуждать так с ответом сразу на несколько Ваших вопросов.
"Каждый, кто законно находится на территории РФ, имеет право свободно передвигаться, выбирать место пребывания и жительства" - по части 1 статьи 27 Конституции РФ.
"Каждый может свободно выезжать за пределы РФ. Гражданин РФ (гражданка РФ - тоже) имеет право беспрепятственно возвращаться в РФ" - по части 2 этой же статьи 27 Конституции РФ.
Вы, гражданка РФ, никак (ввиду того, что это есть в Конституции РФ в отношении каждого) не ограничены во времени Вашего нахождения на территории РФ, никак не ограничены в посещении ЛНР. Соответствующий этим нормам Конституции РФ ФЗ так и называется "О праве граждан на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах РФ".
Отсутствие пометки в Вашем паспорте (РФ) регистрации по месту жительства никак не влияет на устройство на работу (к примеру в Отдел МВД России по (Вашему в г. Ростове) району - тоже) ввиду статьи 3 (три) "Запрещение дискриминации в сфере труда" ФЗ "Трудовой кодекс РФ" (устройство на работу в соответствии с этой статьёй независимо от места жительства).
Не хотите воспользоваться этими у Вас, как и других, правами -
(а) "что "нужно" ("нужно" не говорят (нужно воспользоваться правами), а можно), можно делать, если без прописки не берут (на работу) " - можно писать свой адрес места проживания в г. Ростове (у хозяев), а хозяевам не сообщать про то, что Вы сказали свой адрес в этом городе,
(б) "что можно делать, если временно прописаться у хозяев не могу" - в РФ отметки временной регистрации в паспорте не проставляются, а выдаются свидетельства регистрации по месту пребывания.
Можно взять Вам справку регистрации по месту пребывания при Центре в г. Ростове, где собираются выехавшие из ЛНР, или сказать (для справки в этом же Центре) свой адрес снятия жилья, в котором Вы находитесь.