Заверит нотариус ДКП на авто? -

Нотариус заверяет ни сделку, а подписи в договоре купли-продажи. Либо уговорить тебя, чтобы он составил для вас договор и вы в нём расписались. Только эта услуга будет не дешёвая, нотариус возьмёт процент от стоимости автомобиля. Кроме того, в твоем случае сложно представить, что нотариус заинтересует ваш договор, поскольку Право собственности продавца на этот автомобиль ничем не подтверждена

Нотариус тут вообще не нужен даже в принципе.
ДКП на авто пишется в простой письменной форме.
Точка.

До постановки на учёт деньги не отдавайте. А то окажется, что машина под арестом, а перекуп смылся.

Просто договор у него забери, на основании которого он приобрёл у предыдущего собственника. Когда пойдёшь ставить на учёт, оба договора сдай в ГИБДД, эти договоры покажут цепочку правопреемственности от собственника по ПТС/СТС и тобой

надо было писать у нотариуса

Нет, конечно! + требуется присутствие ВТОРОГО владельца, на кого оформлены документы.

Во-первых, что-то заверить в документе, где должно быть подписи двух людей, нотариус может только в присутствии этих людей.
Во-вторых, логично, что в СТС фамилия предыдущего собственника, а как иначе? Ты же еще на себя не ставил машину. Вообще по факту при снятии с учетапо правилам номера с авто должны быть сняты и сданы в ГИБДД, как и СТС тоже должны быть в ГИБДД) ну это если по правилам.

Идешь в ГИБДД со всеми документами на машину:
ПТС, СТС старый, номера, ДКП в двух экземлярах (ну или хотя бы один), страховкой, диагностической картой
Ставишь авто на смотровую площадку, приходит инспектор, проверяет машину и соответствие всех номеров на машине и в документах, ставит подпись, отдает тебе
После чего идешь в само ГИБДД, записываешься в очередь (или заранее на госуслугах) и ждешь своей очереди постановки на учет