Купила вспышку YongNuo Speedlite YN-560III, подскажите как ее подключить на Sony Cyber-shot DSC-H300 ???

Правильно они всё сказали, их задача - втюхать !
Надеюсь не сильно много денег то потратил ??

...в магазин и иди с фотоаппаратом, раз сразу при покупке не хватило ума захватить.

Т. к. на твоём аппарате нет горячего башмака, то подключить её к твоему аппарату непосредственно т. о. нельзя.
Эту вспышку можно использовать только в качестве выносной и управлять ею импульсом встроенной вспышки (см. ответ выше).
Разместить её нужно на фотопланке (кронштейне), как показано на снимках ниже.
ЗЫ: Вопрос интимный: "КупилА", однако, "Борис Магадан". И что это означает? Ты ОН или ОНА?

Неплохой комплект получился.
Только вот не знаю - будет ли работать ТТЛ? Скорее всего нет. Нужно и аппарат и вспышку перевести в мануальный режим и работать с выносной вспышкой. С поджигом внешней вспышки импульсом интегрированной. Купи штатив для вспышки. Если во вспышке или в комплекте штатива нет переходника - башмака, купи отдельно. Я купил сразу с креплением для зонтика. Зонтики бывают на просвет и на отражение. На отражение бывают белые, серебристые и золотистые. Размеры зонтиков тоже бывают разные.
Если на аппарате нет мануального режима выбора экспозиции, то количество света можно подбирать управлением мощностью вспышки. Это просто. Можно выбирать частичную мощность, а можно ещё менять фокус. Чем длиннее фокус вспышки, тем уже пучок света и, естественно, на освещаемою площадь будет приходиться большее количество света. И наоборот, чем меньше фокус, тем меньше света на единицу площади.
Интегрированную вспышку стоит заэкранировать, чтобы свет не шёл в лоб модели, а шёл вверх и в стороны. Или лишь частично проходил через экран. Для этого подойдёт обычная белая бумага для принтера.
Так что не расстраивайся. Учись работать с внешней вспышкой.
Всё будет хорошо.
P.S. В виде утешительного приза.
Чем ближе светильник стоит к модели, тем мягче свет. Чем дальше светильник стоит от модели, тем жёстче свет.

Ну заставить её вспыхивать от встроенной вспышки Вашей камеры можно, но вряд ли это Вас порадует, пользоваться этим будет сложно мощностью вспышки придется управлять в ручном режиме. Вам надо прочесть инструкцию и выставить режим работы (MODE) M и режим синхронизации (Triggering mode) S2
Таким образом вспышка будет срабатывать при срабатывании встроенной вспышки на Вашей камере (только отключите убирание эффекта красных глаз)
Кнопками право и лево на командном диске вспышки Вы сможете изменять мощность вспышки.

на камеру никак, нет у неё башмака. ищи выносной башмак срабатывающий от штатной вспышки

они несовместимы