Можно ли в делфи в edit1 ввести какую-нибудь команду, например "button1.caption:='sdfd'" и выполнить ее?

Поле Еdit предназначено для текста.
Туда можно ввести параметр команды, а после выхода из редактирования выполнить нужное присвоение или запустить заранее известную функцию с этим параметром.

Однако если до компиляции функция неизвестна, то она не может быть включена в сборку.
То есть в Edit нельзя написать такую команду.
Чтобы такое выполнить нужен не компилятор, а интерпретатор, среда куда непосредственно вводятся команды.

Такое возможно и с применением Java, не торопящимся делать сборку, но шаблон модуля должен быть заранее оформлен. Это к специалистам Java.

Дела в том, что адреса, которые записаны именами, являются условными, изветными только человеку. При трансляции именам даётся адрес относительно начала модуля и в объектном модуле есть таблица с именами и их адресами, но там только глобальные имена необходимые при сборке.
После сборки такая таблица не нужна и в исполняемой программе её нет.
То есть имя, которое Вы задали в Edit не с чем связать.

Для таких целей нужны языки интерпретируемые, например LISP, Basic, в которых программа может прочесть Ваше имя
button1.caption, на его основании автоматически написать модуль, даже записать в файл и тут же загрузить и запустить его, как бы на втором этапе выполнения.
Это и соответствует смыслу задуманного процесса.

Если немного подумать, то думаю да

Можно. Компонент есть - TScriptControl, позволяющий выполнять скрипты, написанные на JavaScript или VisualBasic.