Чем отличается Java от C# по.. . назначению? Что такого можно писать в Java, чего нельзя в C# и наоборот?

Только не надо апплет на веб-страницы. Веб страница должна быть совместима с юзеровским софтом и железом, а не требовать поддержку явы в браузере. Во многих современных браузерах ява просто не поддерживается.

C# хорош для задач, заточенных под MS. MS в широком смысле, речь не только о десктопной винде, но и о сервере/таблетках/виндофонах.

Ява хороша для кое-каких мобильных устройств (кстати, не только андроидных, но и для некоторых экзотических) и для серверных приложений. И это не кросс-платформенный язык, он просит ява-платформу. Другое дело, что она на разные оси встает, но, все же, не на все оси.

Java лучше заточена для Android.
Почти вся документация по Android - именно в контексте Java, так что, чтобы писать под Android, Java нужна обязательно.
Чтобы писать под Android на C# или чем-то еще, нужно знать не только C#, но и Java, искать в инете нужные образцы кода на Java, переводить на C# и только затем использовать в своем приложении.
Для спеца это не составляет особого труда, он может писать что-то не на Java, а на C#, потому что C# для него удобнее или просто лучше нравится. Для новичка будет тяжело.

Насколько хорошо джава заточена для кроссплатформенной разработки - это вопрос уже, имхо, более спорный.
Пытался делать кроссплатформенный GUI на Swing (Java), GTK# (C#) и Qt (C++ и др)
Самым удобным и функциональным показался Qt, но на втором месте - GTK#, а не Swing.

Java кроссплатформенный язык в то время как C# кроссплатформенный в кавычках. Синтаксис этих двух языков очень похож. Java я считаю предпочтительней использовать, ввиду того что вы сможете программы запускать не только на компе, но и на Android. Также можно прогу на Java преобразовать в апплет и потом его можно будет помещать на веб-страницы.
C# используют в крупных компаниях для написания корпоративного ПО, только они могут себе позволить покупать Visual Studio, SharePoint и прочие наворотыю