Как в PHP сделать так что-бы обновлялось содержимое HTML-страницы? (Подгрузка содержимого без обновления страницы)

Изменить мышление.
html на клиенте, php на сервере. к серверу можно обращаться за частичным обновлением страницы ( javascript ajax query ) и он может помнить состояние ( php session_start ).

Ну вот у тебя в html будет div id="counter"
И скрипт на кнопку onlick="послать ajax запрос php скрипту; при успешном ответе обновить counter innerHTML"
А на сервер php файл, который будет помнить $_SESSION['value'] , увеличивать его и отправлять клиенту

кароче есть пшп, исть яваскрипт, а есть дом (ну аштмл будем считать, можешь там почитать на эту тему что такое дом, всплытие и погружение, обращение к родительскому элементу или получение списка вложенных и т. д.) кароче есть обращение к элементу, делается это на явке, можно по ид обратиться, можно еще круче извратиться, можно каждый элемент контролировать или из множества найти один и изъменить значение, суть есть обращение к элементу, теперь как передавать на сервак данные и получать обратно? без обновления. я знаю два таких пути, это аякс на явке где данные могут синхронно или асинхронно передаваться, неплохое приспособление, ну и собственно сокет, эта технология подойдет идеально для чатов, но вот тут не все так просто с примерами, в сети очень сложно найти чат на сокетах пшп, скорее тебе будут предложены примеры с использованием серверной явки (которую на сервер установить надо еще при условии что это твой локальный сервер)), чем пшп, чтоб этот пример найти придется попотеть)) вот и всё, дерзай, учи, а да еще можно функции на явке запускать переодически через какое-то время, ну лан ищи, разбирайся, да и сокеты тоже устанавливать пшп придется)) но это уже из установочного msi файла))