При помощи какого языка/языков делают анимации на сайте?

CSS, SVG, JavaScript (canvas, webGL)
* От легкого к сложному.

От простой анимации к сложной:
GIF
SVG+SMIL
CSS
Javascript

JavaScript. Принцип работы JavaScript несколько отличается от других языков программирование. Главное отличие состоит в том, что он подключается напрямую в HTML-файл. Сценарий, написанный на JavaScript, проходит обработку интерпретатором, встроенным в браузер.

Области использования языка весьма обширны:

Создание веб-страниц, которые могут изменяться после загрузки документа
Решение локальных задач
Проверка грамотности заполнения форм пользователем до их пересылки на сервер

Современный HTML5 + CSS3 уже позволяет создавать презентационную анимацию на сайте, даже без использования Javascript. Возможны различные варианты интерактивности (действия по событию на странице или из-за действий посетителя) с применением различных сценариев на Javascript.
GIFанимация - самый бесполезный формат. Много весит и медленно грузится, ограничен 256 цветами и имеет огромные искажения на градиентных переходах в изображениях (ужасное качество изображений).
Раньше существовала Flash анимация с самым огромным разнообразием интерактивной анимации и потоковой загрузкой. Встроенный язык ActionScript 3 позволял создавать сложнейшие интерактивные сценарии и даже игры.
Но сейчас эта анимация не популярна и поддерживается только некоторыми браузерами (Maxthon MX5) или расширениями для браузеров (Ruffle кроссплатформенный эмулятор Adobe Flash Player).
Последний Flash сайт в рунете тут – пример сайта с flash анимацией в дизайне . НО!!! Без плагина Flash будет автоматически показана HTML5 анимация - там адаптивный дизайн с двумя версиями анимации.