На каком языке программирования пишут шахматные программы; и за сколько лет можно его изучить?

что значит на каком языке? Написать так то можно на любом

Большинство на C++. Но зачем изобретать велосипед?

За сколько лет учатся языки не знаю -тут всё индивидуально, но не за несколько недель -это точно! А вообще это одна из классических задач для любого ЯП на проверку владения им (по крайней мере на среднем уровне, а не на самом примитивном или вообще запредельном). Напишешь интересные, то есть достаточно сильные и эстетически привлекательные, программы для игры в шахматы, шашки, калах или хотя бы в морской бой (желательно ещё с красивым интерфейсом !) -считай, что и алгоритмическим языком владеешь на должном уровне (для написания такого рода программ, естественно, а не для чего-то ещё !), да и, кстати, не самый худшим программистом в мире являешься, потому что до этого почему-то далеко не каждый доходит.
Правда тут ещё владение языком очень сильно связано с особыми предметными областями: с задачами искусственного интеллекта, так как речь идёт о настольной интеллектуальной игре стратегического типа, а также с художественным и техническим дизайном. Это я про то, что картинка и вся игровая динамика должны быть выполнены в блестящем художественном стиле, причём, например, в мобильной версии довести весь такой проект до уровня нативного приложения -это уже экстра-класс...

И вот прекрасный пример из opensource. Изучай на здоровье ;)
ftp.gnu.org/gnu/chess/gnuchess-6.2.9.tar.gz