Всю жизнь без проблем решал тригонометрию, а сейчас сижу и не могу "догнать".. Поможет если кто нибудь, буду благодарен

Ну попробуем
1. а) sin a * cos^3 a - sin^3 a * cos a = sin a * cos a * (cos^2 a - sin^2 a) = sin 2a / 2 * cos 2a = sin 2a * cos 2a / 2 = sin 4a / 4
б) (1 + cos 8a) / (sin^2 2a - cos^2 2a) = - (1 + cos 8a) / cos 4a
Косинус половинного аргумента: cos х = кор [ (1 + cos 2х) /2 ], отсюда 2 * cos^2 4a = (1 + cos 8a)
- (1 + cos 8a) / cos 4a = - 2*(cos 4a)^2 / cos 4a = - 2*cos 4a

2. а) (cos^2 a - sin^2 a)^2 - 4sin^2 a * cos^2 a = (cos 2a)^2 - (sin 2a)^2 = cos 4a
б) (1 - cos a) / (sin a/4 * cos a/4) = (1 - cos a) : ((sin a/2) / 2) = 2 * (1 - cos a) / sin a/2
Cинус половинного аргумента: sin x = кор [ (1 - cos 2х) /2 ], отсюда 2 * sin^2 a/2 = 1 - cos a
2 * (1 - cos a) / (sin a/2) = 4 * sin^2 a/2 / sin a/2 = 4 * sin a/2

во втором возведи в квадрат разность, приведи подобные, там еще будет тригонометрическая 1 в квадрате, а второе выражение-это синус двойного угла в квадрате
в остальных надо применять формулы двойных углов для измененных аргументов

1) sinacos^3a-sin^3acos^3a=sinacosa(cos^2a-sin^2a)=sinacosa*cos2a=1/2*2sinacosa*cos2a=1/2*sin2acos2a=1/2*1/2 sin4a=1/4sin4a
2) (cos2a)^2- (sin2a)^2=cos4a
4)(1-cosa)/1/2sina/2=(1-cos^2a/2+sin^2a/2) / 1/2sina/2= 2*(2sin^2a/2)/sina/2=4sina/2
3) (1+cos^2 4a-sin^2 4a)/-cos4a=2cos^2 4a/-cos4a=-2cos4a

1+cos8a=2cos^2(4a); sin^2a-cos^2a=-cos4a; 1-cosa=2sin^2(a/2); sin(a/4)cos(a/4)=1/2sin(a/2)

в первом вынести произведение син кос за скобку, если не ошибаюсь в скобках останется косинус двойного аргумента