"Ничем не кичиться"- Почему в первом слове пишется НИ и слитно? А во втором раздельно НЕ?

так как между НИ и чем нет прдлога
НЕ с глаголом раздельно, так как есть "кичиться"
Ирина, а Вы знаете, почему НИчем не кичиться, а не НЕчем не кичиться?

Нисколько не боюсь ответить на ваш вопрос.

Слитное написание НИ

НИ пишется слитно:

1. В местоимениях, если частица ни не отделена от последующего местоимения предлогом, например: никто, ничто, никого, ничего, никакой, ничей, никакому, ничьим, но: ни у кого, ни с каким и т. п. .

2. В наречиях никогда, нигде, никуда, ниоткуда, никак, нисколько, нимало, нипочем, ничуть и в частице – нибудь.

На первую часть вопроса Вам ответили правильно, что касается второго вопроса - НЕ (частица) С ГЛАГОЛАМИ ВСЕГДА ПИШЕТСЯ РАЗДЕЛЬНО, кроме глаголов которые без НЕ не употребляются ( ненавидеть, негодовать).

в первом случае - это отрицательное местоимение, оно пишется слитно и через ни, потому что позиция приставки НИ- безударная,
во втором случае- перед нами глагол с частицей НЕ, глагол в данном случае пишется раздельно с НЕ, потому что слово (глагол) употребляется без НЕ!! ! НЕ- потому что отрицание содержит глагол.

Слитное написание НИ

НИ пишется слитно:

1. В местоимениях, если частица ни не отделена от последующего местоимения предлогом, например: никто, ничто, никого, ничего, никакой, ничей, никакому, ничьим, но: ни у кого, ни с каким и т. п. .

2. В наречиях никогда, нигде, никуда, ниоткуда, никак, нисколько, нимало, нипочем, ничуть и в частице – нибудь.