Помогите пожалуйста решить дифференциальные уравнения!

1) y' - y/x = -2*ln(x)/x
y(1) = 1.

Линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Решим сначала однородное уравнение:
y' - y/x = 0
dy/dx - y/x = 0
dy/y = dx/x
ln(y) = ln(x) + ln(C)
y = C*x

Решение неоднородного уравнения найдем методом вариации произвольных постоянных.
y = C(x)*x, подставим в уравнение:

(C(x)*x)' - C(x)*x/x = -2*ln(x)/x
C'(x)*x + C(x) - C(x) = -2*ln(x)/x
C'(x)*x = -2*ln(x)/x
C'(x) = -2*ln(x)/x^2
C'(x) = -2*ln(x)/x^2
C(x) = int -2*ln(x)/x^2*dx [t = 1/x, dt = -1/x^2*dx, dx = ] = int 2*ln(1/t)*dt = int -2*ln(t)*dt = -2*t*(ln(t) - 1) + A = 2*(ln(x) + 1)/x + A

Общее решение:
y(x) = 2*(ln(x) + 1) + A*x

Выделим частное решение по начальным условиям y(1) = 1:
1 = 2*(ln(1) + 1) + A
A = -1

y(x) = 2*(ln(x) + 1) - x

2)
y' = (y/x)^2 + 6*(y/x) + 6
dy/dx = (y/x)^2 + 6*(y/x) + 6
dy = ((y/x)^2 + 6*(y/x) + 6)*dx

Замена t = y/x, y = t*x, dy = dt*x + dx*t

dt*x + dx*t = (t^2 + 6*t + 6)*dx
dt/(t^2 + 5*t + 6) = dx/x
int dt/((t+3)*(t+2)) = int dx/x

1/((t+3)*(t+2)) = A/(t+3) + B/(t+2)
A = -1, B = 1

int dt/((t+3)*(t+2)) = int -dt/(t+3) + int dt/(t+2) = -ln(t+3) + ln(t+2)

int dt/((t+3)*(t+2)) = int dx/x
-ln(t+3) + ln(t+2) = ln(x) + ln(C)
(t+2)/(t+3) = C*x

(y/x+2)/(y/x+3) = C*x
(y+2*x)/(y+3*x) = C*x

3)
y''' - y'' - 2*y' = (6*x - 11)*e^(-x)

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Решим однородное уранение:
y''' - y'' - 2*y' = 0
Характеристическое уравнение:
k^3 - k^2 - 2*k = 0,
k*(k^2 - k - 2) = 0,
k*(k + 1)*(k - 2) = 0,
k1 = 0, k2 = -1, k3 = 2.
Фундаментальная система:
{1, e^(-x), e^(2*x)}
Общее решение однородного уравнения:
y(x) = C1 + C2*e^(-x) + C3*e^(2*x)

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Так как правая часть имеет специальный вид и -1 корень характеристического уравнения, то частное решение будем искать как y(x) = (A*x + B)*x*e^(-x). Подставим y(x) в уравнение.

y(x) = (A*x^2 + B*x)*e^(-x),
y'(x) = (-A*x^2 + (-B + 2*A)*x + B)*e^(-x),
y''(x) = (A*x^2 + (B - 4*A)*x - 2*B + 2*A)*e^(-x),
y'''(x) = (-A*x^2 + (-B + 6*A)*x + 3*B - 6*A)*e^(-x).

y''' - y'' - 2*y' === (6*x - 11)*e^(-x)
(-A*x^2 + (-B + 6*A)*x + 3*B - 6*A)*e^(-x) - (A*x^2 + (B - 4*A)*x - 2*B + 2*A)*e^(-x) - 2*(-A*x^2 + (-B + 2*A)*x + B)*e^(-x) === (6*x - 11)*e^(-x)

(-A*x^2 + (-B + 6*A)*x + 3*B - 6*A) - (A*x^2 + (B - 4*A)*x - 2*B + 2*A) - 2*(-A*x^2 + (-B + 2*A)*x + B) === (6*x - 11)
(-B + 8*A)*x + 3*B - 8*A === (6*x - 11)

Так как это тождество, то:
-B + 8*A = 6,
3*B - 8*A = -11:

2*B = -5,
8*A = 6 + B;

B = -5/2,
A = 7/16;

Частное решение y(x) = (7/16*x - 5/2)*x*e^(-x)

Общее решение:
y(x) = C1 + C2*e^(-x) + C3*e^(2*x) + (7/16*x - 5/2)*x*e^(-x)

4)
y'' + 2*y' = 4*e^x*(sin(x) + cos(x)),

y'' + 2*y' = 0,
k^2 + 2*k = 0,
k*(k + 2) = 0,
k1 = 0, k2 = -2,

Общее решение однородного уравнения:
y(x) = C1 + C2*e^(-2*x)

Частное решение неоднородного решения:
y(x) = e^x*(A*sin(x) + B*cos(x)),
y'(x) = e^x*((A - B)*sin(x) + (B + A)*cos(x)),
y''(x) = e^x*(-2*B*sin(x) + 2*A*cos(x)),

y'' + 2*y' === 4*e^x*(sin(x) + cos(x)),
e^x*(-2*B*sin(x) + 2*A*cos(x)) + 2*e^x*((A - B)*sin(x) + (B + A)*cos(x)) === 4*e^x*(sin(x) + cos(x)),
(2*A - 4*B)*sin(x) + (2*B + 4*A)*cos(x) === 4*(sin(x) + cos(x));

2*A - 4*B = 4,
4*A + 2*B = 4;

10*A = 12,
-10*B = 4;

A = 1,2,
B = -0,4;

y(x) = e^x*(1,2*sin(x) - 0,4*cos(x))

Общее решение:
y(x) = C1 + C2*e^(-2*x) + e^x*(1,2*sin(x) - 0,4*cos(x))

Надо учителей слушать внимательно

Года 3 назад я бы решила))