1/12 часть круга координата центра тяжести

Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

I.Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
P1(x1,y1); P2(x2,y2); ...Pn(xn,yn)
c массами m1,m2,m3, . mn.
Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

1.Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной? для всех частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . x=xn=b на полоски ширины? x1, ?x2, . xn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность ?. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис. 1) с основанием? xi и высотой f2(?)-f1(?), где ?, то масса полоски будет приближенно равна
(i = 1, 2, ..n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при, получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т. е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности? фигуры (в процессе вычисления? сократилось) .

2. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . Pn c массами m1, m2, . mn определяются по формулам
.
В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

(*)
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность ?.
Если же поверхностная плотность переменна:

то соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

и

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.
Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

3.Теоремы Гульдена.

Теорема 1.
Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.
Теорема 2.
Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

II.Примеры.

1)Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.
Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае поэтому

(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)
3)Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.
Решение: По формулам (*) получаем:

4)Условие:
Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .
Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т. е. Xc= 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги