Задачка про "гуляющий" центр тяжести треугольника

Введём прямоугольную систему координат с центром в произвольной точке O.

1.Центр пересечения медиан треугольника АВС, A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) находится в точке M((x1+x2+x3)/3; (y1+y2+y3)/3).

2.Рассмотрим, как меняются координаты вектора (x;y) при повороте на угол а.

Пусть r – длина вектора, b – между ним и положительным направлением оси Ох, отсчитываемый в положительном направлении.
x=r*cos b, y=rsin b

После поворота
xa=r*cos(b+a)=r*cos b * cos a- r*sin b*sin a=x*cos a- y*sin a
ya=r*sin (b+a)=r*sin b*cos a+r*cos b*sin a= y*cos a+x*sin a

3.Пусть точки А, В, С двигаются по окружностям с центрами O1(m1;n1), O2(m2;n2),
O3(m3;n3).
В начальном положении векторы О1А, О2В, О3С имеют координаты
ОA(x1;y1), ОB(x2;y2), ОC(x3;y3)
Точки А, В, С имеют координаты
A(m1+x1;n1+y1), B(m2+x2;n2+y2), C(m3+x3;n3+y3)
Точка пересечения медиан
M0((m1+m2+m3)/3+(x1+x2+x3)/3; (n1+n2+n3)/3+(y1+y2+y3)/3

После поворота каждой точки на угол а получим точкy пересечения медиан
M c абсциссой
(m1+m2+m3)/3+(x1+x2+x3)*cos a/3-(y1+y2+y3)/3*sin a
и ординатой
(n1+n2+n3)/3+(y1+y2+y3)/3*cos a +(x1+x2+x3)/3*sin a,
т. е. точку, полученную из точки
M0 поворотом на угол а вокруг точки
O4 ((m1+m2+m3)/3; (n1+n2+n3)/3)
O4 – центр пересечения медиан треугольника О1О2О3

Таким образом, точки пересечения медиан будут двигаться
с той же угловой скоростью по окружности с центром в точке пересечения медиан треугольника с вершинами в центрах исходных окружностей.

Понятно, что он движется с той же угловой скоростью в ту же сторону по окружности, центр которой совпадает с центром тяжести треугольника, вершинами которого являются центры окружности, по которым движутся точки А, В и С. Вот радиус этой окружности посчитать будет посложнее...

Могу привести нестрогие следующие рассуждения.. .
Центр тяжести треугольника - точка пересечения медиан.. . В силу движения вершин треугольника по окружностям в одну сторону с одинаковой угловой скоростью эти окружности будут не пересекатся и параллельны - таким образом они образуют кольца.. . Раз так, то и точки середины сторон треугольника будут двигатся по окружности причем эти окружности будут находится в середине колец образованных окружностями.. . В силу того что точка пересечения медиан делит медианы 2 к 1 то следовательно точка пересечения медиан тоже будет двигаться по окружности параллельной данным, при чем пусть r радиус наименьшей окружности, r1 cредней, r2 самой большой то (r2 - r1)/2 + r1 - радиус окружности медианы... 2/3((r2 - r1)/2 + r1 - r) + r - судя по всему будет радиус окружности движения центра тяжести:))