помогите с геметрией! объясните решение! 10 баллов! выражублагодарность!

Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4.Найти расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ=6
А) 4 б) 16-2*корень (3) в) 8 г) 6 д) 2

Получаем правильную пирамиду MABC. MA = MB = MC = 4
AB = BC = AC.
Расстояние от точки М до плоскости АВС - это длина высота MH, опущенной из точки М на плоскость АВС.
В правильной пирамиде точка H совпадает с центром треугольника ABC. То есть H - это точка пересечения и медиан треугольника АВС.
Пусть BD - высота и медиана.
М - середина АС => AD = 1/2 * AC = 1/2 * 6 = 3
AB = 6
Тогда из прямоугольного треугольника ABD:
AB^2 = BD^2 + AD^2
6^2 = BD^2 + 3^2 => BD^2 = 36 - 9 = 27
BD = 3 * 3^(1/2)
Используем свойство точки пересечения медиан (точки H):
медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Тогда BH = 2 * HD.
Отсюда BH = 2/3 * BD = 2/3 * 3 * 3^(1/2) = 2 * 3^(1/2)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник
MBH: MB = 4, BH = 2 * 3^(1/2)
Тогда по теореме Пифагора
BM^2 = BH^2 + MH^2
4^2 = BH^2 + (2 * 3^(1/2))^2
16 = BH^2 + 12 => BH^2 = 4
BH = 2
Ответ: д

Из точки к плоскости проведены две равные наклонные. величина угла между этими наклонными равна 60 .Величина угла между прекциями равна 90.Найти угол между каждой наклонной и ее проекцией.
а) 90 б) 60 в) 30 г) 45 д) нельзя определить

Пусть дана точка M, MH - высота, опущенная на плоскость.
MA, MB - проекции.
По условию:
MA = MB, AMB = 60, AHB = 90 (AH, BH - проекции)
Надо найти углы MAH и MBH.
Рассмотрим треугольники MAH и MBH:
MHA = MHB = 90, MA = MB, MH - общая сторона
Значит треугольники равны, следовательно, MAH = MBH и AH = BH.
Пусть AM = BM = x.
В треугольнике AMB: AMB = 60 =>
MAB + MBA = 120
Так как MA = MB, то треугольник MAB равнобедренный и
MAB = MBA => MAB = MBA = 60
MAB = MBA = AMB = 60 => AMB равносторонний треугольник
Значит AB = x.
В прямоугольном треугольнике AHB:
AH = HB, AB = x.
По теореме Пифагора:
AH^2 + BH^2 = x^2
AH^2 + AH^2 = x^2 => 2 * AH^2 = x^2
AH^2 = x^2/2 => AH = x/2^(1/2) = 2^(1/2) * x/2
В прямоугольном треугольнике MAH:
cos MAH = AH/AM
cos MAH = (2^(1/2) * x/2)/x = 2^(1/2)/2 => MAH = 45 = MBH
Ответ: г

Отрезок, длина которого равна равна 10, пересекает плоскость. Его концы находятся соответстенно на расстоянии 3 см и 2см от плоскости .Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

Пусть A - вершина отрезка над плоскостью,
В - вершина отрезка под плоскостью.
О - точка пересечения отрезка и плоскости.
AH1, BH2 - высоты, опущенные из точек А и В на плоскость.
По условию AH1 = 3, BH2 = 2, AB = 10.
Пусть AO = x, тогда BO = AB - AO = 10 - x.
В треугольниках AOH1, BOH2:
AH1O = BH2O = 90, AOH1 = BOH2 (как вертикальные)
Значит треугольники AOH1 и BOH2 подобны по двум углам.
AH1/BH2 = AO/BO
3/2 = x/(10 - x)
3 * (10 - x) = 2 * x
30 - 3x = 2x => 5x = 30 => x = 6 => AO = 6
Угол между отрезком и плоскостью равен AOH1.
Из прямоугольного треугольника AOH1:
sin AOH1 = AH1/AO
sin AOH1 = 3/6 = 1/2 => AOH1 = 30
Ответ: 30 градусов.

Axreneть