вокруг: наречие или предлог?

нет. Не наречие. А "производный наречный предлог". См. "Википедию".

А почему бы не заглянуть в БОЛЬШОЙ ТОЛКОВЫЙ СЛОВАРЬ
ВОКРУГ
I нареч. Кругом, во все стороны. Осмотреться в. Обойти здание в. Ни одной деревни в.
II предлог. кого-чего. 1. Кругом, около. Сесть в. стола. В. дома забор. Уложить косу в. головы. Путешествие в. света. 2. По поводу кого-, чего-л. Спор разгорелся в. политики. < Вокруг да около, в зн. нареч. Разг. Не решаясь сказать главное; не касаясь существа дела. Говори прямо, не ходи вокруг да около. Разговоры ведутся только вокруг да около.

Наречие, конечно.
Хотя можно определить как наречный предлог (есть такая группа производных предлогов) .
Все зависит от вашего учителя и программы))))))

По словообразовательной структуре все наречия делятся на мотивированные и немотивированные. Основную часть составляют наречия, мотивированные словами всех неслужебных частей речи: 1) прилагательными: красиво, привычно, равнодушно; терпимо, взволнованно; вызывающе, ошеломляюще; дружески; босиком, тайком; по-деловому, по-хорошему; по-братски, по-дружески, по-лисьи; поровну, сослепу, врассыпную, вчерне; докрасна, издалека, сгоряча; 2) существительными: весной, днем, рысью, чудом, бобриком, калачиком, домой; вверх, всерьез, вокруг, вразбивку, наизнанку, напрокат, вверху, вначале, наверху, поблизости, доверху, сбоку, впереди, издали; 3) числительными: дважды, трижды, втрое, надвое, намного, помалу; 4) местоимениями: зачем, отчего, незачем; 5) глаголами: стоймя, ливмя, кишмя (кишит) , мельком, волоком, молчком, ходуном (ходит) , ощупью, вплавь, вдогонку, вприкуску, нараспашку, наугад, второпях, доупаду, сроду, спросонок, невмоготу; 6) наречиями: рановато, слабовато, тихонько, частенько, тоненько, близехонько, рядком, сторонкой, втихомолку, тихонечко, пешочком, недаром, ненадолго, засветло, навсегда, отныне, отовсюду, позавчера.

наречие

Это зависит от контекста это может быть предлог наречие и существительное с предлогом

А почему бы не заглянуть в БОЛЬШОЙ ТОЛКОВЫЙ СЛОВАРЬ
ВОКРУГ
I нареч. Кругом, во все стороны. Осмотреться в. Обойти здание в. Ни одной деревни в.
II предлог. кого-чего. 1. Кругом, около. Сесть в. стола. В. дома забор. Уложить косу в. головы. Путешествие в. света. 2. По поводу кого-, чего-л. Спор разгорелся в. политики. < Вокруг да около, в зн. нареч. Разг. Не решаясь сказать главное; не касаясь существа дела. Говори прямо, не ходи вокруг да около. Разговоры ведутся только вокруг да около.

Смотря на контекст. Есть предлог производный от наречия, а есть само наречие.

Наречный предлог .

Наречие