Теорема о существовании несоизмеримых отрезков.

Соизмеримые и несоизмеримые отрезки.
Измерение отрезков основано на утверждении, называемом аксиомой Архимеда:
Если даны два любых отрезка АВ и СD (АВ > СD), то на прямой АВ можно от точки А отложить отрезок СD последовательно столько раз, что получится отрезок АN, больший или равный отрезку АВ, т . е . можно найти такое целое число n, при котором будут выполнены неравенства n СD > А В, (n — 1)СD < АВ.
Это очевидное утверждение доказано быть не может и принято в качестве аксиомы.
Общей мерой двух отрезков называется отрезок, который содержится в каждом из данных целое число раз (без остатка) .
Не всякие два отрезка имеют общую меру, например сторона и диагональ квадрата ее не имеют. Два отрезка, имеющие общую меру, называются соизмеримыми, а не имеющие ее — несоизмеримыми .

Сейчас наиболее популярно сведбение вопроса к вопросу из теории чисел. Именно используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2x^2= y^2. (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения икса и игрека дают решение) . На этом примере демонстрируется и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности происходит очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой части доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y, что 2x^2 = y^2. Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной . В первой части используется прямая теорема Пифагора: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне какое-то число x раз, а в диагонали какое-то число y раз; тогда по теореме Пифагора 2x^2 = y^2. Во второй части используется обратная теорема Пифагора: если найдутся такие целые числа x и y, что 2x^2 = y^2, то по этой обратной теореме треугольник с длинами сторон x, x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y. Таким образом, великое пифагорейское открытие было не только замечательным само по себе, но и проложило дорогу к установлению отсутствия решений у уравнений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решения (в целых числах, как в нашем примере, или в действительных числах, как уравнение x^2 = -1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2x^2 = y^2 настолько просто, что доступно школьнику младших классов/