По каким приметам Царь Эгей должен был узнать своего выросшего без отца сына?

Эгей не узнал своего сына, но зато узнала его волшебница Медея.

У афинского царя Эгея не было наследника. Будучи в Трезене, Эгей сблизился с Этрой, дочерью царя Питфея, от которой ждал сына. Уходя обратно в Афины, он оставил под огромной скалой свой меч и сандалии. Если родится сын, наказывал Эгей, он должен сдвинуть скалу, взять меч и сандалии и направиться к отцу в Афины. И в самом деле, у Этры родился сын Тезей. Возмужав, юноша сдвинул скалу, достал меч и сандалии и отправился в Афины. А тем временем Эгей женился на волшебнице Медее, у которой уже был сын Мед и которая обещала и ему родить наследника. Когда Тезей появился в Афинах, Медея сразу же разгадала его тайну. Опасаясь, что трон не достанется Меду, она уговорила мужа отравить Тезея. Эгей, не подозревая, кто на самом деле Тезей, согласился сделать это на пиру в храме Дельфина. Медея заранее приготовила отраву. Но прежде чем осушить поданный Эгеем кубок с ядом, Тезей вытащил меч, чтобы отсечь, как полагалось по ритуалу, кусок от зажаренного, увитого цветами быка. И тут на рукоятке меча Эгей увидел вырезанного из слоновой кости ужа – знак его рода Эрихтониидов. Узнав свой меч, он выбил отравленный кубок из рук Тезея. Разоблачённая Медея мгновенно обратилась в облако и улетучилась вместе с Медом и Чашей. С тех пор небесная Чаша Медеи напоминает людям о человеческом коварстве.

По одной из легенд, в созвездии Чаши увековечена Чаша Медеи.

Эгей узнал сына по рукоятке его меча.
Вот легенда :
Перед тем как покинуть Трезены, Эгей зарыл в царском саду под огромным камнем свой меч и пару сандалий и сказал жене:
- Когда мой сын станет таким большим и сильным, что сможет сдвинуть этот камень и достанет мой меч и сандалии, пусть он придет ко мне в Афины: по этому мечу и сандалиям я узнаю его.
Эгей вернулся в Афины, а у жены его скоро родился мальчик - его назвали Тезеем. Тезей рос во дворце Питфея, и старый царь учил его всему, что нужно знать и уметь человеку, которому предстояли в жизни странствия, сражения и подвиги воина. Когда Тезею исполнилось шестнадцать лет, мать повела его в сад, показала ему большой камень и сказала:
- Вот здесь, под этим камнем, лежит подарок, оставленный тебе твоим отцом. Сдвинь камень и достань то, что под ним зарыто.
Юноша, сильными руками крепко охватив камень, сдвинул его в сторону и нашел в земле меч и сандалии. Тогда мать открыла ему, кто его отец, опоясала сына отцовским мечом, надела ему на ноги отцовские сандалии и сказала, что по этому мечу и сандалиям отец узнает его.