Подскажите пожалуйста, по какому принципу здесь расставлены запятые?

Мальчик (1), засунув свои озябшие руки в карманы и подняв брови (2), испуганно смотрел на Денисова и (3), несмотря на видимое желание сказать все (4), что он знал (5), путался в своих ответах и только подтверждал то (6), что спрашивал Денисов.

Два деепричастных оборота, соединенные неповторяющимся союзом и, запятой не разделяются,
поэтому ставится запятая 1 ПЕРЕД первым деепр. обор.
и запятая 2 ПОСЛЕ второго деепр. оборота.

Запятые 4 и 5 обособляют придаточное предложение (что он знал)

Запятая 6 обособляет придаточное (что спрашивал Денисов) .

Что же такое «несмотря на видимое желание сказать все...» ?

Большой толковый словарь:

НЕСМОТРЯ НА ( что) - в значении ПРЕДЛОГА
(= Вопреки чему-л. , невзирая на что-л. )
Он был весел, НЕСМОТРЯ НА боль. Они опоздали, НЕСМОТРЯ НА предупреждение

Справочник Розенталя: §94. Обособленные обстоятельства:

Простые отглагольные предлоги НЕСМОТРЯ НА, благодаря, включая, исключая, кончая, начиная, считая, спустя и составные отглагольные предлоги смотря по, судя по, невзирая на, , не доходя до, исходя из, начиная с вместе с относящимися к ним словами

НЕ ОБРАЗУЮТ деепричастных оборотов.

Среди указанных оборотов обособляются, как правило, обороты с предлогом НЕСМОТРЯ НА и невзирая на.

Поэтому запятые 3 и 4 обособляют такой оборот.

То есть запятая 4 «закрывает» этот оборот и «открывает» придаточное
(что он знал) .

Если вы подумаете, что «несмотря на видимое желание сказать все... » - это деепричастный оборот, это не так, потому что

деепричастный оборот — это деепричастие с зависимыми словами, а здесь нет деепричастия,
даже если бы оно было, НЕ с деепричастием писалось бы РАЗДЕЛЬНО.

Вот примеры:

Несмотря на сильный дождь, мы отправились на прогулку (предлог) .

Он прошел мимо, НЕ СМОТРЯ (деепричастие: прямое значение) на меня
(можно заменить: НЕ ГЛЯДЯ) .

1,2,3, 4 запятые выделяют два деепричастных оборота
5-я- между однородными сказуемыми,
6-я запятая--перед изъяснительным придаточным предложением.

Тут деепричастные обороты и сложно подчинённые предложения

запятые перед ЧТО и деепричастные или причастные (до сих пор не разбираюсь) обороты.