уравнение в целых числах

Привет!

3xy+14x+17y+71=0
x(3y+14)+5(3y+14)+2y+1=0
x=-5-(2y+1)/(3y+14) - целое, значит
(2y+1)/(3y+14) = n - целое
y=-4-(2n+7)/(3n2)=-4 - S(n)
Заметим, что предел последовательности
S(n) при n -> +- бесконечности равен 2/3
Следовательно начиная с определенного значения n, при котором S(n) < 1, последовательность S(n) монотонно убывает приближаясь к 2/3

Проверяем n, начиная с 0. (n=0, +-1, +-2, ..)
Имеем, S(-1)=1, y=-3
При n<-1 мысла проверять не имеет, так как числитель меньше знаменателя.
S(1)=9, y=-13
S(9)=1, y=-5
При n>9
S(n)<1
Итак, у=-13;-5;-3
Соответственно, х=-6; -14;-4

Ответ: (-6;-13), (-4;-3), (-14;-5)

Лемма:
Если два целых числа а и b имеют общий делитель с, то для любых целых k и l линейная комбинация ak + bl также делится на с.
Выражаем х через у: х = - (17у+71)/(3у+14)
Числа 17у+71 и 3у+14 имеют общий делитель 3у+14.
Составим их линейную комбинацию таким образом, чтобы у сократилось: 3(17у+71) - 17(3у+14) = 25, т. е. 25 должно делиться на 3у+14.
Делители числа 25 суть 25, 5, 1, -1, -5, -25.
Получаем для 3у+14 шесть уравнений, из которых в целых числах имеют решение только три.
Находим у1 = -3
у2 = -5
у3 = -13
Тогда х1 = .4
х2 = -8
х3 = -6
Вот вроде всё.
Задача имеет три решения.

3xy+14x+17y+71=0
Я выразил x: x = (-71-17y)/(3y+14) = -5 - (2y+1)/(3y+14)
Второе слагаемое должно быть целым, чтобы x был целым
Это возможно только при этом условии:
|2y+1|≤|3y+14|. Ты вроде шаришь, думаю сам решишь это неравентво :-)
Его решение -13≤y<-14/3
Проверяем все целые решения:
y=-13, x=-6
y=-5, x=-14
Не за что :-)