зная длины сторон прямоугольного треугольника а, б, с найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей

Формула Эйлера

d² = R² - 2Rr

Здесь R = c/2; 2r = a + b - с.

Простое решение придумать не получилось,
через координаты - как в аналитике - я не умею,
получается сложное.

пусть АВ=а, ВС=в - катеты, АС=с - гипотенуза,
r - радиус вписанной, О - ее центр, R - радиус описанной, М - ее центр.

R = с/2 для прямоугольного треугольника

r=(а+в-с) /2 для прямоугольного треугольника

В задаче надо найти ОМ - медиану треугольника АОС,
ее можно найти по трем сторонам:
ОМ=(1/2)·√(2ОА²+2ОС²-АС²)

ОС=r/sin(C/2)
sin(C/2)=(1/2)·√(1-cos C)=0,5√(1-в/с)

OA=r/sin(A/2)
sin(A/2)=(1/2)·√(1-cos A)=0,5√(1-а/с)

решили? наверно там можно через треугольники... а может и формула есть

ΔАВС , ∠С=90° Пусть АВ=с - гипотенуза, АС = 3, ВС = 4, тогда АВ = 5 - египетский треугольник.
R = 1/2 AB = 2.5 (РАдиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы .Пусть О -центр опис. окр.
К - центр вписанной окр. r - радиус вписанной окр.
r=(a+b-c)/2 = (3+4-5)/2 = 2/2=1 r = 1
или r = (ab)/ (a+b+c) = 3·4 / (3+4+5)= 12 / 12 = 1
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника и он равноудалён от сторон треугольника
Центр описанной окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров и он равноудалён от вершин треугольника

АВС - треугольник, С - прямой, N - середина гипотенузы АВ (она же центр описанной окружности), О - центр вписанной, K, L, M - точки касания ей сторон АС, ВС, АВ соответственно.

OK, OL, OM - перпендикулярны соответствующим сторонам как радиусы из точки касания.
OKCL - квадрат со стороной, равной радиусу (три угла прямые, две смежные стороны равны).
CK = CL, AK = AM, BM = BL как отрезки касательных проведенных из точки вне окружности.

радиус вписанной окружности r = (CK + CL) / 2 = (a + b - c)/2 = OM.
MN = AN - AM = с/2 - (а - r) = (b - a)/2

искомое расстояние ON находим по т Пифагора из прямоугольного треугольника OMN.