докажите, что abcd - прямоугольник, если A(4;-2;2), B(6;1;-4), C(0;-1;-7), D(-2;-4;-1) помогите пожалуйста

Можно решить проще через векторную алгебру.

По координатам точек находим векторы AB={2;3;-6}, AD={-6;-2;-3}, AC={-4;1;-9}. Сумма векторов AB и AD оказывается равной вектору АС. Следовательно, АВСD - параллелограмм.

Вычислим скалярное произведение AB и AD: AB•AD=-12-6+18=0. Значит АB и AD перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник. ЧТД

у прямоугольника стороны попарно равны и параллельны

Для того, чтобы доказать, что это прямоугольник необходимо доказать не только равенство и параллельность противоположных сторон, но и угол между сторонами должен быть 90 градусов. Доказать равенство сторон просто: взять попарно 2 вектора, например АВ = (6-4;1-(-2);-4-2), CD = (-2-0;-4-(-1);-1-(-7)), AB=(2;3;-6), CD = (-2;-3;6). Далее чтобы посчитать длины векторов нужно взть корень из суммы квадратов их координат, так для AB = корень (4+9+36) = 7. Для CD будет такая же длина. Другие стороны сам рассчитай аналогично.
Дальше нужно посчитать угол между векторами, например, (DA,AB) и (DA,DC).
Вектор DA=(6,2,3), AB(2,3,-6). Угол между векторами (попарное произведенеи координат делим на их длины): 6*2+3*2-6*3 / (корень (6^2+2^2+3^2)*корень ((-60^2+2^2+3^2). Числитель равен 0, корни можно не считать. Корень равен нулю для угла 90 градусов, Аналогично для других векторов (сам также посчитай). Угол тоже 90. Прямые AB и CD параллельны, т. к. сумма односторонних углов при векторах (DA,AB) и (DA,DC) равна 180, противоположные стороны равны, значит ABCD параллелограмм, а т. к. углы в параллелограмме равны 90, то этот параллелограмм - прямугольник