через вершину угла C равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость alpha, параллельная гипотенузе

С Вашим вопросом сам чёрт ногу сломит. Это надо показывать. Воэьмите ученический (деревянный) треугольник с углом в 30 градусов и начертите на листе бумаги ВАШ равнобедренный треугольнок с длиной катетов, равной (для удобства именно равный, хотя и не обязательно) длинному катету деревянного треугольника (катету, примыкающему к углу в 30 градусов) . Теперь поставьте деревянный треугольник на любой катет нарисованного треугольника и положите (мысленно) на него и гипотенузу какую-нибудь плоскую штуку (лист бумаги, картонку или фанеру) и Вы догадаетесь, что для определения угла между двумя плоскостями Вам надо будет определить величину малого катета деревянного треугольника и высоту ВАшего равнобедренного треугольника. Отношение короткого катета дерев. треуг. к высоте бумажног (нарисованного) - это тангенс именно того угла, который Вам и нужен. Ну, а остальное Вы уж как-нибудь - сами. И не ловите ворон на уроках геометрии, это очень интересная наука. Геометрия, я имею ввиду.

Ну тут имеется в виду РАВНОБЕДРЕННЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник. И тогда всё сравнительно просто.
Мысленно достроим этот треугольник до квадртата (что не штука) и на этом квадрате как на основании дорисуем куб. Тогда эта плоскость пересечёт поковые грани куба, и её след на боковой грани как раз и составит угол 30 градусов с рёбрами куба (= катетами треугольника) . Линия, соединяющая точки пересечения плоскости с вертикальными рёбрами куба, растущими из вершин исходного треугольника, будет параллельна гипотенузе и идти точно над ней (по вертикали) , причём расстояние отнеё до гипотенузы понятно какое (боковая сторона треугольника умножить на тангенс 30 град.) . С другой стороны, расстояние от вершины треугольника до своего основания тоже понятно какое - сторона делить на корень из двух пополам. И что имеем: имеем прямоугольный треугольник (торчащий вверх от высоты, опущенной из вершины С на диагональ АВ) , у которого известны оба катета. Ну а когда катеты известны - то и углы найти не штука.