Помогите мне разобраться с вопросом проживания в гостинице ?

В гостиницах прежде всего считают не сутками а ночами. После 00:00 начинается новый день. В 9 утра вас заселят только в том случае если номер будет свободен с предыдущего дня. Потому что в гостиницах существуют часы заезда и выписки. Заезд в 13:00 или 14:00 дня обычно. Выезд в 11:00-12:00 зависит от правил гостиницы. Если ваш самолет, поезд вечером, вы скорее всего сможете использовать багажную комнату для ваших вещей, а сами погулять по городу, потому что в ваш номер приедут новые гости и вы не можете там оставаться дольше положенных суток. Исключение составит только если отель не занят и вам разрешат остаться подольше, но за это могут взять дополнительную плату.

Сутки заканчиваются в 12 часов дня. То есть, время заселения неважно - в три часа дня, в девять часов вечера и т. д.

если вас заселили в 9 утра, то первые сутки заканчиваются в 12 дня

Нет, вы ошибаетесь! В большинстве гостиниц установлен "расчётный час" - обычно это 12 часов : поэтому если вы заселились до 12-00, вам посчитают как дополнительную оплату, и возьмут или за половину суток, или за четверть - смотря что записано в правилах этой конкретной гостиницы. Также и с выселением : если вы освобождаете номер позже 12 часов, администрация вправе взять дополнительную оплату.
Но бывают и исключения - могут посчитать реальное время вашего проживания (с 9-00 до момента выселения) , а могут вообще взять оплату только с учётом ночей.