Пропустят в аэропорт?

В здание пустят, на борт и в зону посадки - нет.

Разумеется, пропустят - но только до зоны контроля авиационной безопасности.
Дальше пройти могут только зарегистрированные пассажиры и сотрудники аэропорта, имеющие допуск в чистую зону.

Рейс внутренний? Весь путь по России?

До стойки регистрации в аэропорту вылет, конечно, пройдете вместе без проблем, а вот дальше - нет. Что касается аэропорта пересадки, то тут важно, какой именно билет приобретен. Если "сквозной", т. е. единый до места назначения, то и зарегистрируют Ваше чадо в аэропорту вылета сразу до конечного пункта и посадочные талоны выдадут сразу на оба рейса, так что в аэропорту пересадки ему ни багаж получать не придлется, ни регистрацию на следующий рейс проходить.
Если же билеты куплены по отдельности, сначала один до Москвы, а потом второй до пункта назначения, то тут уж придется поучить в Москве багаж, а потом с ним уже снова идти на регистрацию на следующий рейс. Вот тут уже да, можно встретиться с родственниками или знакомыми, но, опять-таки, только ДО момента регистрации на рейс.

Если оба рейса от одной авиакомпании, регистрацию на оба рейса одновременно при вылете можно сделать. Тогда и багаж автоматом переедет. Ребенку надо будет только внутри транзитной зоны перейти с рейса на рейс. В эту зону посторонних не пустят.
Если авиакомпании разные но багаж не сдается - можно сделать он лайн регистрацию на второй рейс, и опять же не надо будет выходить из транзитной зоны и регистрироваться в Москве.

Если Вы хотите и время позволяет - можно выйти в общий зал. Если не позволяет и нет желания - можно идти сразу на транзит и тогда не надо 2 раза проходить досмотр его и ручной клади. По моему желательно предварительно позвонить в справочную авиакомпании и уведомить, что ребенок летит один и тогда его проконтролирует авиакомпания - его регистрацию и посадку на оба рейса. И это бесплатно. Но в принципе как уже говорилось выше - если сотрудники видят, что требуется помощь - они и сами предложат и проконтролируют. Но лучше через справочную.