Если я правильно понимаю, то самолет разворачивается на стоянке и следует до посадочно-взлетной полосы?

Если самолёт стоит носом к терминалу, то отгоняют его задом специальным буксиром.
Это такая маленькая, но очень мощная машинка.
Она отгоняет самолёт от терминала, ставит на рулёжку. Дальше отцепляется и уезжает. Самолёт запускает движки и уже сам едет по рулёжкам к полосе.
На полосе разгоняется и взлетает.
Ну а после взлёта он уже набирая высоту уже разворачивается куда ему надо.

Движение назад осуществляется исключительно буксировкой (у пилотов, как вы понимаете, нет зеркал заднего вида). После разворота самолёт снимают с буксира и до взлётно-посадочной полосы он уже следует сам по "рулёжкам". Взлёт осуществляется всегда в одном направлении, так как взлётно посадочная полоса - это сложное инженерное сооружение рассчитанное в том числе и на случай отказа от взлёта (хоть и до определённого момента, так называемой "точки принятия решения"). Если самолёт летит "в обратную сторону", то после взлёта в процессе набора высоты он тупо разворачивается на 180 градусов. Такая же ситуация зачастую возникает и в процессе посадки. Да, со стороны выглядит несколько по-идиотски, но но на всё есть свои причины.

Смотря что Вы имеете ввиду под словом "разворачивается". Самолёты не ездят задним ходом самостоятельно, от терминала их толкает буксир до места, где машина уже может сама начать движение вперёд. Дальше он двигается по рулёжным полосам до взлётной полосы. По взлётной полосе совершается разгон, нужный для отрыва от земли, а уже в небе самолёт поворачивается в ту сторону, куда ему надо лететь.

по рулежной дорожке следует до взлетки

Правильно понимаете. Только он не разворачивается, а прямо со стоянки выезжает на полосу.

Нет, он взлетает в одном направление и поворачивается уже в воздухе. Взлетная полоса всегда одного направления в эропортах.