Я ИП, сменил место регистрации с МО на Москву. Нужно ли сейчас подавать данные в налоговую или это идёт автоматом?

Мне это дело знакомо.
Вообще УФМС информирует ИФНС о смене регистрации физ.лич (ИП), но с опозданием.
Лучше сделать так: делаете ксерокопию паспорта и пишите письмо от своего имени (как ИП) уже в Московскую налоговую : Прошу Вас предоставить полную выписку из ЕГРИП (с указанием места регистрации). и подкладываете копию паспорта. Через 5 дней забираете выписку и смотрите свое новое место регистрации. Вот это будет Вам доказательством, что ИФНС в курсе о Вашей регистрации.
Не забудьте сходить в ПФР, захватите с собой ИНН, ОГРН, паспорт, СНИЛС и выписку, там Вас поставят на учет и дадут реквизиты для перечисления фиксированных платежей.

Это я Вам из своего опыта рассказываю. ИП дела которого я веду сменил прописку, город на район. Я через 3 недели поехала в ПФР. А сведения о смене регистрации в ПФР передает ИФНС. А в ПФР меня отбутболили, сказали, что им ИФНС ничего не передавала. Я пошла в ИФНС, а им УФМС ничего не передала. Вот только после того как я копию паспорта предъявила и запросила выписку ЕГРИП, тогда все зарегистрировали и в ПФР передали. Также в ПФР запросят выписку из банка об открытом счете (если есть счет).

желательно, процедура перерегистрации может занимать до 6мес. Контролируйте вопрос. А что налоговая Вам говорит по данному поводу?