Должны ли заверять печатью запись в паспорте родителей в графе "дети"?! (думаю так понятно для всех

Запись в паспорте. о наличии детей - формальность. Вы можете ее делать или нет, Ваша проблема. Документом является свидетельство о рождении, выполненное надлежащим образом на сооответствующей бумаге. Соответственно и заверять Вам ни чего в паспорте не должны.. .
Это как прописка (можете сами купить наборный штамп и прописать себя в Москве, Это как сберкнижка - которую требуют в сбербанке, хотя есть счет и в нем все отражено. Трудовая книжка, в которую можете наборной печатью ОК проставить себе любой стаж работы, как диплом который можно изготовить с помощью цветного лазерного принтера и т. д. Для всех этих документов существует система проверки (базы данных) А вот по глупости чиновников отказатся от этих документов, мы пока ни как не можем??? ?
Вот, для этого и вводится электронное правительство, где будут единыебазы документов, а вам нужно будет предьявить всего один документ - Свидетельство (это вроде пластиковой карты - бейджика) А все остальное покажет чиновнику база данных. Вот тогда не будет многих документов и справок, а соответственно больших синих печатей!!!!

Не должны.

нет.

В настоящий момент такая печать ФМС является подтверждением гражданства РФ, например, при пересечении границы. Так что просто так Вам печать никто не поставит.

Не совсем понятно. Печатей лишних там не ставят. По крайней мере мои дети не "накрыты" чернилами в паспорте в графе "дети"...

Нет! Но текст должен быть напечатан в миграционной службе!