Какой закон позволяет получить прописку при этом не вставая на воинский учет?

А более подробно процедуру регистрации регламентирует нижеследующий нормативный акт-

Утверждены

Постановлением Правительства

Российской Федерации

от 17 июля 1995 г. N 713

ПРАВИЛА
РЕГИСТРАЦИИ И СНЯТИЯ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
С РЕГИСТРАЦИОННОГО УЧЕТА ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ
ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

(в ред. Постановлений Правительства РФ от 23.04.1996 N 512,

от 14.02.1997 N 172, от 16.03.2000 N 231, от 14.08.2002 N 599,

от 22.12.2004 N 825, от 28.03.2008 N 220,

с изм. , внесенными Постановлением Правительства РФ

от 12.03.1997 N 290, Постановлением Конституционного Суда РФ

от 02.02.1998 N 4-П)
--------------------
Ни одним из пунктов этого НПА регистрация граждан по месту жительства (пребывания) не обусловлена постановкой или непостановкой на в\учёт.
В\учёт- самостоятельная обязанность гражданина, за нарушение которой предусмотрена самостоятельная административная ответственность.

Ну а полностью вышеуказанные правила можно прочитать вот здесь-

http://www.consultant.ru/online/base/?req=doc;base=LAW;n=76044#p45

==Особое внимание обратите на раздел III (пп. 16-22) ,где определён перечень документов для регистрации, в соответствии с которым предоставление каких-либо военно-учётных документов при регистрации НЕ ТРЕБУЕТСЯ

Статья 6. Регистрация гражданина Российской Федерации по месту жительства

Гражданин Российской Федерации, изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к должностному лицу, ответственному за регистрацию, с заявлением по установленной форме. При этом предъявляются:
паспорт или иной заменяющий его документ, удостоверяющий личность гражданина;
документ, являющийся основанием для вселения гражданина в жилое помещение (ордер, договор, заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение, или иной документ) , или его надлежаще заверенная копия.
Орган регистрационного учета обязан зарегистрировать гражданина по месту жительства не позднее трех дней со дня предъявления им документов на регистрацию.

Как видите - ни слова о воинском учёте.