Хочу вывезти ребёнка в Абхазию(5 лет). Нужно ли получить от второго родителя(вместе не живём) письменное разрешение?

Не надо никакого разрешения от отца, если ребенок едет с мамой!! ! Чтобы не выпустили, отец должен в установленном порядке заявить о несогласии на вывоз.

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.

Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.
Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается уполномоченным федеральным органом исполнительной власти.

Не нужно. Многократно пересекала границу с Абхазией с несовершеннолетним сыном. Пограничникам важно, чтобы ребёнок был хотя бы с одним законным родителем. На всякий случай могут спросить - с кем ты переходишь границу, кто тебе эта женщина или этот мужчина? Вот если не с мамой или с папой и без письменного разрешения, тогда задерживают - такое тоже приходилось видеть.
P.S. Когда ездили в Европу тоже никто ни разу не поинтересовался разрешением от отца, хотя оформляли. По-моему, это просто нотариусы деньги зарабатывают на наших страхах и незнании законов.

Обязательно нужны все документы при вывозе ребёнка за границу.

Обязательна. Заграница вроде как

да разрешение нужно

Да, особенно если вы не в разводе.