Обязательно ли оформлять прописку по месту пребывания?

Регистрироваться обязательно, за отсутствие регистрации - штраф. И так хоть каждый день до тех пор, пока не зарегистрируетесь. Ну, или не уедете.
Не пойму, как ОНИ (те, кто прислал предписание! ) узнали, что Вы там живёте?
Хозяйка против - оно и понятно, т. к. если Вас прописать - обратно можно и не выписать. А если прописать в связи с договором найма - то хозяйке придётся платить налог с дохода (с той платы, которую Вы ей вносите, это 13% от всей суммы за год) .
Попробуйте сделать вот что. Никому (незнакомым) не говорите, где Вы живёте и где учитесь. Впускать кого-либо в квартиру (в т. ч. проверяющих, и ДАЖЕ работников милиции - ни Вы, ни хозяйка НЕ ОБЯЗАНЫ. Точнее - имеете прав никого не впускать. Далее, договоритесь с хозяйкой, пусть всем представляет Вас не квартирантом, а дальним-предальним родственником, приехавшим в гости на недельку - гостей, прибывших на срок 7 дней (если мне не изменяет память) - регистрировать не обязательно.
Ну, и запомните следующее: кто бы ни пришёл, что бы ни сказал - эти люди должны ДОКАЗАТЬ, что Вы живёте в этой квартире более 7 дней без регистрации. 7 дней подряд. Сами понимаете - это нереально. Вы всегда можете сказать: "приехал только вчера, уезжаю завтра". Никто Вас за руку ловить не станет, и требовать от Вас отчитаться билетами (показать билет приезда-отъезда) НЕ ИМЕЕТ ПРАВА! Так что если на Вас составят протокол - не подписывайте НИЧЕГО, даже то, что Вы ознакомлены. А затем, если наложат штраф - смело обжалуйте это постановление, потому что кроме голых слов, что Вы там живёте больше 7 дней, доказательств в деле не будет. А нет доказательств - нет и административного дела.

Кто прислал предписание, дворник?

студенты-алкоголики с юрфака развлекаются :)

Ну во первых! Регистрация по месту пребывания не создает и не ведет к образованию ни каких прав на жилую площадь (ЖК РФ) , так что человек который вас зарегистрирует может быть совершенно спокойный! без вашего согласия гражданин может прописывать, единственное неудобство это повышение коммунальных счетов на оплату, т. к. увеличивается количество проживающих! (срок регистрации по месту пребывания может быть от 1 дня до 250 лет, Регламент ФМС в части постановки и снятия с рег. учета граждан РФ).

Временная регистрация. Сходите вместе в паспортный стол, ей там объяснт что к чему. Приплатите ей дополнительно. Временная регистрация обязательна, за ее отсутствие более 90 суток придусмотрена административная ответственность в виде штрафа. но миллионы людей живут без нее.