Иностранная гражданка неофициально работает у частника в Москве, каждые три месяца она посещает Украину для продлени

Нельзя, так как с Украиной безвизовый режим. А вот если она попадется миграционной службе на нелегальной работе, ее вообще депортируют.

за 3 тысячи+1тыс. госпошлина я оформлю ей разрешение на работу в Москве

Для оформления разрешения на работу необходимо пройти мед комиссию,
(бланк мед. комиссии нужно взять миграционный службе) фотографию
и предоставить копию уведомления о постановки на миграционный учет.
Советую сделать это в январе потом очереди будут огромные начнется летний сезон и поток работников увеличится раз в 10. гос пошлина 1000 рублей.

Оформляйте разрешение на трудовую деятельность, а потом на основании этого разрешения можно продлить временную регистрацию на срок действия разрешения на трудовую деятельность. И потом не надо будет выезжать каждые три месяца. Это в том случае, если ваша иностранка является гражданкой Украины.

Вам необходимо обратиться с заявлением в ФМС о предоставлении Вам разрешения на работу. Далее в течение 30 суток Вы обязаны предоставить в органы ФМС справки о том, что Вы не состоите на наркологическом учете и не имеете инфекционных заболеваний, представляющих опасность для окружающих, и сертификат об отсутствии заболевания, вызываемого ВИЧ-инфекцией. Медицинские документы Вы должны получать в том же регионе, где собираетесь получать разрешение на работу.
После принятия заявления Вам обязаны в течение 10 рабочих дней выдать разрешение на работу или уведомление об отказе в его выдаче.